数学之美（29）——跑不掉的老鼠（不动点）

数学的美是从多个角度看待问题，你会发现不一样的结果，而殊途同归，最后都回归于某一个实质性的理论上。

今天介绍的是不动点理论.

猫抓老鼠

从猫抓老鼠谈起

我们假设有一只猫，它捕食的范围是一条线段（较长）；有一只老鼠，它的活动范围也是一条线段（较短），

我们将两条线段放在一起，较短的线段两端不能伸出较长线段两侧，（如图1）

我们不难发现，老鼠是一定要被猫捉到的。

图1  1只猫、1只老鼠

如果增加到2只猫，2只老鼠呢？假如猫1捕食老鼠1，猫2捕食老鼠2. 见图2.

图2 两只猫、两只老鼠

我们也不难发现，在不超过蓝色线段边界的前提下，无论怎么移动红色线段，都至少有一只老鼠在对应的猫的葡式范围内.

如果增加到3只猫，3只老鼠呢？见图3.

图3 三只猫三只老鼠

同样的道理，总有那么一只“倒霉”的老鼠被抓它的猫逮住。

那么老鼠的活动范围不一样大呢？如图4所示。

图4

无论我们怎么改变红色线段长短，至少有一只老鼠要被抓住。

增加到4只猫，4只老鼠；5只猫，5只老鼠呢？结果是不是一样的呢？

结果仍然一样，不管你如何划分线段，也不管老鼠的线段在猫的范围内如何移动，至少一只老鼠被逮着。

图5 五只猫和五只老鼠

是不是因为猫和老鼠太少了，才会出现这种情况呢？

你自己可以画一些类似的图，将长短两条线段分成10份，20份，30份……顺次标上号码，你会惊奇的发现，总有两个相同的数字出现在了一起。

这有什么道理吗？

其实很好理解，见图6，我们将一长一短两条线段分成1000份，标上1,2,3，……1000数字

图6 简单说明

我们假设将短的1000与长的3的边界相对应，1和997边界对应，

不难发现，上方数字（4~996）越来越大，下方数字（1000~1）越来越小，那么势必存在一个时刻，数字相同。

这好比两个人比赛跑步一样，乙先跑了一段距离，甲在后面追他，甲的速度比乙快，超过了乙。那么存在一瞬间甲和乙齐头并进。

图6中的数字顺序可以回调，意思一样。

这是一维线段的问题，如果扩展到2维呢？如图7.

图7  二维展示

不难发现，我们怎么选择红色的小长方形，或者按某种比例缩小红色长方形，总存在至少一处数字相同。

这是规则图形，不规则图形呢？也是如此，比如我们将中国地图缩小，随意丢在（可旋转）原版地图上，那么一定存在一点地理坐标一致（即地点重叠）.

地图重叠

如果扩展到三维空间呢？

我们将缩小后的地图揉成一团，而后随意防灾原版地图上，仍然会有一个点重合。

这个点是一定存在的，怎么找到这个点是很难的问题了。

现在拓扑学家已经证明了不动点问题的存在。

在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石。

不动点问题实际上就是各种各样的方程的求解问题 ，在数学上非常重要，也有很多的实际应用。

涉及的领域有阿蒂亚-鲍特不动点定理、波莱尔不动点定理、布劳尔不动点定理、卡若斯梯不动点定理、对角线引理、不动点性质、

射度量空间、角谷不动点定理、克莱尼不动点定理、伍兹霍尔不动点定理、拓扑度理论等方面. 

【参考文献】张景中——《数学杂谈》

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