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两角相等~椭圆：2018年理数全国卷A题19

两角相等~椭圆：2018年理数全国卷A题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-21 12:22 被阅读0次

两角相等~椭圆：2018年理数全国卷A题19

19.（12分）

设椭圆 C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0).

（I）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程;

（Ⅱ）设 O 为坐标原点，证明∶ \angle OMA = \angle OMB.

【解答问题I】

椭圆 C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1 的主要参数为：a=\sqrt{2},b=1,c=1.

右焦点坐标为 F(1,0).

直线 l 与 x 轴垂直并且经过点 F(1,0)，其方程为：x=1, 代入椭圆方程可得：y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}

直线 AM 的方程为：\dfrac{x}{2} \pm \dfrac{y}{\sqrt{2}}=1

【解答问题Ⅱ】

过点 F(1,0) 的直线方程为：x=ty+1, A,B 两点坐标满足如下方程：

\left\{ \begin{array} \\ \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1 \\ x=ty+1 \end{array} \right.

消元后得：(t^2+2)y^2+2ty-1=0

y_1+y_2=\dfrac{-2t}{t^2+2}

y_1\cdot y_2 =\dfrac{-1}{t^2+2}

k_{_{MA}}+k_{_{MB}}=\dfrac{y_1}{x_1-2}+\dfrac{y_2}{x_2-2}

=\dfrac{2ty_1 y_2-(y_1+y_2)}{(x_1-2)(x_2-2)}=0

∴ k_{_{MA}} =-k_{_{MB}}, \angle OMA = \angle OMB. 证明完毕.

【提炼与提高】

2018年全国卷一的解析几何大题，理数和文数都考到了两角相等的问题。文数卷用抛物线；理数卷用椭圆。难度都不高，适合用作韦达定理的补充习题。

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