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弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-06 00:08 被阅读0次

弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 右焦点的直线 x+y-3=0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为\dfrac{1}{2} .

（I）求 M 的方程;
（Ⅱ）C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD \perp AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值.

【解答问题I】

直线 x+y-3=0 与坐标轴的交点为：(3,0),(0,3)

∴ c=3,\;c^2=9

∵ \dfrac{1}{a^2}x^2_{_A}+\dfrac{1}{b^2}y^2_{_A}=1，\dfrac{1}{a^2}x^2_{_B}+\dfrac{1}{b^2}y^2_{_B}=1

∴ \dfrac{b^2}{a^2}=-(\dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{x_{_A}-x_{_B}}) \cdot (\dfrac{y_{_A}+y_{_B}}{x_{_A}+x_{_B}})=-k_{_{AB}} \cdot k_{_{OP}}=\dfrac{1}{2}

∴ a^2=2b^2

∴ b^2=c^2=9,\;a^2=18

M 的方程为：\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{9}=1

【解答问题Ⅱ】

∵ CD \perp AB, ∴ S_{ACBD}=\dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD|

因为 AB 长度固定，所以四边形的面积取决于弦 CD 的长度。

CD \perp AB \Rightarrow k_{_{CD}} \cdot k_{_{AB}}=-1

∴ k_{_{CD}}=-\dfrac{1}{k_{_{AB}}}=1

设 CD 方程为 y=x+t

代入椭圆方程得：3x^2+4tx+(2t^2-18)=0

x_1+x_2=\dfrac{-4t}{3} \Rightarrow (x_1+x_2)^2=\dfrac{16t^2}{9}

x_1x_2=\dfrac{2t^2-18}{3} \Rightarrow -4x_1x_2=\dfrac{8(9-t^2)}{3}

(x_1-x_2)^2=-\dfrac{8}{9}t^2+24

|CD|^2=2(x_1-x_2)^2 \leqslant 2\times 24

|CD| \leqslant 4\sqrt{3}

当 t=0 时，弦 CD 的长度达到最大。

AB 的方程为：y=3-x

代入椭圆方程可得：3x^2-12=0

x_1=0,\;x_2=4

y_1=3,\;y_2=-1

对应的两点坐标为：(0,3),\;(4,-1)

|AB|=4\sqrt{2}

AB 与 CD 的交点为：(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})

结论：四边形 ACBD 面积的最大值 S_{{max}}=\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{6}

【提炼与提高】

『点差法』是解析几何中的常用方法。用此法可以得出推导出圆锥曲线的弦的斜率与其中点的关系。

『韦达定理』也是解析几何中的基本方法。涉及「弦长和面积」的问题，应首先想到韦达定理。

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