弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 .

（I）求 的方程;
（Ⅱ） 为 上两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值.

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【解答问题I】

直线 与坐标轴的交点为：

∴

∵ ，

∴

∴

∴

的方程为：

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【解答问题Ⅱ】

∵ , ∴

因为 长度固定，所以四边形的面积取决于弦 的长度。

∴

设 方程为

代入椭圆方程得：

当 时，弦 的长度达到最大。

的方程为：

代入椭圆方程可得：

对应的两点坐标为：

与 的交点为：

结论：四边形 面积的最大值

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【提炼与提高】

『点差法』是解析几何中的常用方法。用此法可以得出推导出圆锥曲线的弦的斜率与其中点的关系。

『韦达定理』也是解析几何中的基本方法。涉及「弦长和面积」的问题，应首先想到韦达定理。

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