可能最开心和舒服的事就是学习新东西，1是印证还有提升自己的所学，2是没有任何的压力，懂不懂，懂多少，都是自己的，没有一个具体的目标，就好像某种旅行的意义。对CS理论一直很感兴趣，只是没有一个特别好的契机略微深入学习一下。之前看Tachikawa的lecture遇到这样一个问题：什么是最简单的QFT？这里的简单只指，容易求解，也就是容易量子化+可观测量容易计算。这就需要QFT有许多而外的结构比如超对称，共性对称，可积性等等。Topological QFT是另外一种可能，他的物理自由度是有限的，虽然他也是个场论。有限的东西就很好了，因为往往有限的东西可以有代数描述，而不需要复杂的分析。虽然简单，但是TQFT是可以描述有趣的物理的，特别是在凝聚态物理中。所以找Chern-Simons的讲义很多都是从凝聚态的角度出发的。还有就是TQFT也可以用来研究研究拓扑不变量，结果就是也有很多从数学的角度出发的讲义。单单是为了了解CS理论，最好的讲义当然还是Witten 1989的QFT and Jones Polynomials 的前面一半（25/50, 真的是一半，很有意思。）developing CS theory的部分。但是呢，学习的时候还是要自己心里有个目的或是问题比较好，这个问题可以第一遍学习时不懂的地方，也可以是自己在真正关心的问题。这次学习的时候我的问题是这两种情况都有：学习的最初目的是想了解wilsonloop的计算，之后变成了如何消化CS理论的内在逻辑，最后是如何理解CS和CFT的关系这就和Tachikawa lecture里面讲的内容联系起来。下面是一些我参考的讲义。
- Witten 1989。
讲义有两部分，第一部分发展CS理论，第二部分是讲CS理论和knot的理论的关系。Chern-Simons action在Witten之前就已经提出来了。这里的一个很的motivation是Donaldson 理论：就是可以用物理中的4维规范场理论来研究数学中4维manifold上的拓扑不变量。Witten 也想在3维做类似的工作，用一个3维的topological的规范场论来研究3维空间中拓扑不变量knot。3维的拓扑规范场理论最简单的就是由Chern-Simons action给出的，（Chern-Simons action也有高于3维的推广）。3维CS action虽然不依赖于3维空间的metric，但是作为一个物理理论，他是不是完全拓扑的还不确定，就像量子化会破坏对称性一样，量子化可能也会破坏这种拓扑性。检验这一点可以做一个半经典的计算，也就是WKB的近似或者说考虑真空态附近的微扰。目的是要得到这个半经典下的配分函数，因为规范理论，计算的时候要确定一个规范，这个规范会依赖于背景metric，做regularization的时候这个依赖也不会消失，会反应在计算结果的一个phase ambiguity上。这个任意的phase是不可控的，为了消除这个不可控性，需要加入一个counter term （类似于3维引力的Chern-Simons actoin）。虽然phase ambiguity被消除了，但是代价是在加入counter term的时候，要引入3维空间的上trivialized tangent bundle （or frame bundle）。不同tangent bundle的选取会引入一个新的ambiguity，但是这个ambiguity是可控的，因为trivialized tangent bundle 是由cohomology group来分类的，而cohomology group 是拓扑不变量。当tangent bundle改变的时候 ，配分函数的phase只可能是一些整数（winding number）的shift in some unit。所以最后3为Chern-Simons理论并不是一个严格意义上拓扑理论，而且依赖而而外的data，称为framing的选取，但这是可控的。
接下来我们要求解CS理论，这就包括两个内容：量子化得到Hilbert空间（找到所有的states）；计算可观测量（规范不变量）。
在任意的弯曲时空做量子化是困难的。这里我们采用一种cut-glue的办法，其实也就是做一个local的量子化，对3维空间进行划分，每一个小块的拓扑都可以是一个二维空间乘以R，也可以认为我们是做了一个2+1的分级，把时间方向独立出来好做正则量子化。做完分解后，发现CS理论是一个只依赖于时间一次导数的理论（first order formalism）。从之前学的light-cone gauge的string theory的例子还有其他经典力学例子可以知道，CS理论的一些运动方程是只是给出了一些constraints （在分解后的2维平面上，规范场是flat的）。做量子化的时候，我们就可以先impose这些constraints，这样系统的自由度就和一个2维flat规范场的自由度一样。解空间就是所有所有2维flat规范场modulo规范对称，也就这个 flat gauge bundle的moduli space modulo gauge transformations。而flat gauge bundle是由 holonomy等价类来刻画的，holonomy是一个从“ loop”到规范群的一个映射，不等价的holonomy就是独立loop的个数乘以 群的维数，而独立loop的个数等于（2g-2），g是2维空间的genus。
以上的还只是针对真空态，这些态对应的action都是0，对应了不同的（twisted）sectors。举一个最简单的例子，假设规范群是Z2 （维数=2），再把2维空间简化成一个一维的环面（g=1），这样我们就有了2个sectors，这是一个比较well-known的结果。
下面我们考虑激发态。运动方程要求gauge bundle必须是flat的，那么我们就没有nontrivial 的local算符了（F=0），那么理论的激发态就只能是一些non-local的Wilson lines。我们也可以把这些Wilson lines想象成一些line defects。这些Wilson lines穿过2维平面形成一些marked points，他们提供了一些新的loops，也就给出了新的holonomy，对应了激发态。现在我们就已经解决了量子化的问题，下面我们来看可观测量。
通过之前的讨论，我们已经知道，理论里面的算符是一些non-local的Wilson loops，可观测量是就是他们的平均值或者关联函数。如果理论真的是拓扑的，那么这些可观测量也应该是只依赖于拓扑不变量。首先不同loop间关联函数果然只依赖于Gauss linking numbers，是一个拓扑不变量。和local 算符不同的是，这里有一个“自能修正的问题”，就是考虑一个loop和自己的关联函数也就是self linking number，就会出现发散。我们可以人为地丢掉这些量，因为不存在一个拓扑不变的regularization的方案，但是这有些ad hoc。一个regularization的方法，就是无穷小的平移这个loop得到一个新的loop，然后计算这两个loop的linking numbers。所以是量子的Wilson loop实际上是Wilson ribbon。代价是平移的时候需要引入normal vector bundle（或者看成一个U(1)到U(1)的line bundle），不同的bundle的选取会影响最后的结果，这也称为framing anomaly。因为linking number都是整数，所以不等价bundle的选取，也就是不同framing的选取也只会导致一些整数（不同line bundle之间的twisted number）倍的phase shift in some unit 。这样我们就把这个理论解好了。
最后讲一下CS理论和RCFT的关系。也是Witten在致谢里面提到的，这个工作的出发点就是为了说明2维RCFT的某些结果可以用3为CS理论来得出。这里就讲一点就是，CS理论和CFT的Hilbert空间的对应，因为图像很有漂亮很有意思。
这里做一些假设，就是CS理论是定义在一个有边界的3维空间上，然后可以想象CFT定义在这个边界上。CS理论的真空态就对应了CFT的真空态（vacuum module）。当边界上出现一个激发态（比如 some primary state）对应的local operator的时候，可以先想象，这个local operator 实际上一根Wilson line的在边界上的ending point。这个对应可以被formulate精确一些，边界上的CFT是一个WZWmodel！可以具体看下面列的第三个note。
- Gregory W. Moore 2019 TASI lecture note。
一个用比较篇数学语言写的比较偏理论物理的讲义，因为作者是做数学物理的！他的主页上有好多note，都是好多好多页那种，因为涵盖数学和物理，所以内容总是特别丰富。有一点拓扑数学基础的话看着会特别爽。里面很多具体的例子，比如讲量子化的时候，具体在genus=1和2的时候作了很具体的计算。而且有的时候抽象的数学是一种阻碍，有的时候确实唯一把问题弄清楚的途径，因为有了数学就少了很多模棱两可的余地。而很多数学上概念对我这样数学不太精通的人来说就需要反复的用不同的例子和contests来刺激才能理解。
- Umang Mehta 的一个小note “Chern Simons Theory and Rational CFT on Manifolds with Boundaries”。
像上面提到的具体推导CS理论和CFT的关系。
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