- （8.1）James Stewart Calculus 5th
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Arc Length
我们知道，圆是由无数个三角形的边长求和得到的，如下图：
我们的函数的弧长也类似：
当我们的点取得比较多的时候，就会：
对应的弧长，也就是线段的和，可以表示为：
这个时候，每一段可以表示为：
有之前的中值定理，我们可以知道在 [xi-1, xi]的区间上，有
所以，对应的这2点的距离可以表示为：
所以，对应的长度，就是对应线段的和：
我们知道，可以表示为：
The Arc Length Formula 弧长公式
或者 用 莱布尼兹写法：
例子1
半立方抛物线？？ 这名词....
也就是求一个函数，2个点之间的弧长
这2个点，我们知道对应的x取值范围
可以得到对应的表达式为
在具体去掉y，可以得到：
设
则:
当x=1， u = 13/4， 当 x = 4， u = 10
所以有：
x和y交换
之前是在 a，b 范围内， 求 x 的积分
其实， 我们反过来想， 是一样的（当然，对应y的函数反过来要连续）
这个时候， 范围就变成 c，d 了，即：
例子2
由 x = y^2 ， 有 dx / dy = 2y
可以得到：
我们可以设y = tanθ / 2，则
简单化简得：
我们由tanα = 2， 可以得到
有
所以：
The Arc Length Function 弧长函数
我们看一下定义：
也就是
在[a，b]上， y = f(x) 沿着初始点P(a，f(a))，到 点Q（x，f(x)）
对应的长度的函数
【其实，就是把常量换成了变量，扯了这么久....】
一些其他的写法：
或者
或者
或者反过来：
例子4
我们可以简单求得：
有：
则：
所以，弧长的函数为：
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