地标性考题~四点共圆：2014年数学大纲卷题21

四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

（21）（本小题满分12分）
已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与 的交点为 ，且 .

（I）求 的方程;
（Ⅱ）过 的直线 与 相交于 两点，若 的垂直平分线 与 相交于 两点，且 四点在同一圆上，求 的方程.

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【解答问题I】

如图所示，点 的纵坐标 .

点 与准线的距离为：

所以 , 点 的坐标为：

代入方程得：

解得：

的方程为：

焦点坐标为：

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【解答问题Ⅱ】

如上图所示，弦 是弦 的垂直平分线. 根据垂径定理可知： 是圆的直径。

记 中点为 ； 中点为 , 则 是直角三角形，

因为 两条直线相互垂直，而且与抛物线有两个交点，所以，两条直线与 轴不平行，不垂直，

设 , 则 .

的方程为：

用点差法分析：

,

点 的坐标为

直线 的方程为：

满足如下方程：

消元后得：

满足如下方程：

消元后得：

∵

∴

∴

求 的方程为： 和

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【提炼与提高】

本题的第I问考查抛物线的定义和基本性质，属于基础性问题。

第Ⅱ问属于典型的地标性问题。为成功解答第Ⅱ问，需要闯过以下关卡：

『垂径定理』与『勾股定理』

这两个是解析几何中基本又常用的定理。因为直线 是弦 的垂直平分线，根据垂径定理可知，弦 就是圆的直径。又根据勾股定理得出等式：. 该等式在本题的解答过程中起到关键作用，就象拱桥的拱心石一样。

『函数与方程的思想』

从函数的角度思考，可以把 的斜率视作自变量。 的斜率随着它的变化而改变； 的长度也随其改变，是这个量的函数。应用解析几何中的工具和方法，可以求出这几个函数的解析式，从而得到一个方程。

『点差法』

点差法（平方差法）是解析几何中的常用方法。应用点差法，可以把圆锥曲线的弦的斜率与其中点坐标关联起来。就本题而言，可以用公式表达如下：

『相互垂直的直线的点斜式方程』

两直线垂直，则其斜率之积为 . 这是解析几何中的一个常用结论。本题中，我们应用这一结论，把 两条弦的斜率关联起来。

有个细节值得注意一下。本题中， 经过焦点 ，所以我们设 , 于是得到 的点斜式方程：

这种写法的好处是：后面的计算量会略小一些。当然也可以采用另一种形式：, 计算可能会复杂一点。读者可以自行比较。

点斜式方程有两种形式：.

在最近十年的高考真题中，后面一种形式用得还是比较多的。

『用韦达定理求线段长』

这是解析几何中很常规很常用的方法。用公式来表达：

本题中的三条线段都是用后一公式求出。

注意一下， 这两个坐标其实是用点差法求出的。

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【相关和相似的考题】

本题和2016年理数卷一的解析几何大题有很强的相似性，注意比较：

2016年理数全国卷A题20（2）：直角坐标系中解答

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