椭圆定点问题：2017年理数A20

椭圆定点问题：2017年理数A20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-28 13:22 被阅读0次

椭圆定点问题：2017年理数A20

20.（12分）

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，四点 $P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

（1）求 $C$ 的方程;

（2）设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点. 若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ ，证明∶ $l$ 过定点.

【解答问题1】

根据对称性分析。

$P_3$ 与 $P_4$ 关于 $y$ 轴对称。如果其中一点在椭圆上，另外一点也在；反之，如果其中一点不在椭圆上，另外一点也不在。所以，这两点必定都在椭圆上。

$P_2$ 与 $P_3,P_4$ 不存在冲突； $P_1$ 与 $P_3,P_4$ 不可能在同一个椭圆上。

综上所述， $P_2,P_3,P_4$ 在椭圆上， $P_1$ 不在。

显然， $b=1$ , 再代入 $P_4$ 坐标：

$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{3}{4} = 1 \Rightarrow\; a^2=4;\; a=2$

$C$ 的方程为： $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$

【解答问题2】

设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+t$ , 则 $A,B$ 两点满足如下方程：

$\left\{ \begin{array}\\ y=kx+t \\ x^2+4y^2-4=0 \end{array} \right.$

消元后得： $(4k^2+1)x^2+8tkx+4(t^2-1)=0$

$x_1+x_2=\dfrac{-8kt}{4k^2+1}$

$x_1x_2=\dfrac{4(t^2-1)}{4k^2+1}$

因为直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ ，所以

$\dfrac{y_1-1}{x_1}+\dfrac{y_2-1}{x_2}=-1$

$x_2y_1+x_1y_2-(x_1+x_2) + x_1x_2=0$

$(2k+1)x_1x_2+(t-1)(x_1+x_2)=0$

$4(t^2-1)(2k+1) -8kt (t-1)=0$

$(t-1)(t+2k+1)=0$

$t_1=1,\; t_2=-2k-1$

因为直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点，所以 $t_1$ 应舍弃；直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)-1$

所以，直线 $l$ 经过定点 $(2,-1)$ . 证明完毕。

【提炼与提高】

定点问题是高考数学中的常考题型，本题则是定点问题的典型实例。

如果某个点的坐标满足一个方程，则该点在这个方程的曲线上。

如果存在一个定点，始终满足某个曲线族的方程，则这个曲线族经过这一定点。直线可以视作曲线的特例，动直线可以视作直线族的一个元素。

直线的方程有多种，其中点斜式最为常用。本题中用的就是点斜式方程。

涉及直线与椭圆的公共点，韦达定理是常用的工具。

相关文章

网友评论

高中数学纲目

本文标题：椭圆定点问题：2017年理数A20

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/ytubiltx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

高中数学纲目

热点阅读

高中数学纲目

关于我们|服务条款|联系我们|椭圆定点问题：2017年理数A20|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！