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椭圆定点问题：2017年理数A20

椭圆定点问题：2017年理数A20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-28 13:22 被阅读0次

椭圆定点问题：2017年理数A20

20.（12分）

已知椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)，四点 P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}) 中恰有三点在椭圆 C 上.

（1）求 C 的方程;

（2）设直线 l 不经过 P_2 点且与 C 相交于 A,B 两点. 若直线 P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1，证明∶l 过定点.

【解答问题1】

根据对称性分析。

P_3 与 P_4 关于 y 轴对称。如果其中一点在椭圆上，另外一点也在；反之，如果其中一点不在椭圆上，另外一点也不在。所以，这两点必定都在椭圆上。

P_2 与 P_3,P_4 不存在冲突；P_1 与 P_3,P_4 不可能在同一个椭圆上。

综上所述，P_2,P_3,P_4 在椭圆上，P_1 不在。

显然，b=1, 再代入 P_4 坐标：

\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{3}{4} = 1 \Rightarrow\; a^2=4;\; a=2

C 的方程为：\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1

【解答问题2】

设直线 l 的方程为 y=kx+t, 则A,B 两点满足如下方程：

\left\{ \begin{array}\\ y=kx+t \\ x^2+4y^2-4=0 \end{array} \right.

消元后得：(4k^2+1)x^2+8tkx+4(t^2-1)=0

x_1+x_2=\dfrac{-8kt}{4k^2+1}

x_1x_2=\dfrac{4(t^2-1)}{4k^2+1}

因为直线 P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1，所以

\dfrac{y_1-1}{x_1}+\dfrac{y_2-1}{x_2}=-1

x_2y_1+x_1y_2-(x_1+x_2) + x_1x_2=0

(2k+1)x_1x_2+(t-1)(x_1+x_2)=0

4(t^2-1)(2k+1) -8kt (t-1)=0

(t-1)(t+2k+1)=0

t_1=1,\; t_2=-2k-1

因为直线 l 不经过 P_2 点，所以 t_1 应舍弃；直线 l 的方程为 y=k(x-2)-1

所以，直线 l 经过定点 (2,-1). 证明完毕。

【提炼与提高】

定点问题是高考数学中的常考题型，本题则是定点问题的典型实例。

如果某个点的坐标满足一个方程，则该点在这个方程的曲线上。

如果存在一个定点，始终满足某个曲线族的方程，则这个曲线族经过这一定点。直线可以视作曲线的特例，动直线可以视作直线族的一个元素。

直线的方程有多种，其中点斜式最为常用。本题中用的就是点斜式方程。

涉及直线与椭圆的公共点，韦达定理是常用的工具。

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