UX013
上一次，我们简单的谈了一下对数的历史，你可能并没有注意到，上一次并没有涉及计算指数本身。
相对来说这个函数是少用的，越高级的运算，在日常生活中用的也就越少。
普通人生活中的计算，基本是加法和减法；如果你开小卖部的话，最多加上一点乘法和除法，用到幂和对数的时候几乎是没有的。
请问，有谁想知道 是多少呢？
所以说，即使完全没有提，好像也完全没有什么违和感。
其实计算指数在科学和工程中，是常用的。
在工程师的眼中算 ，就如同你计算
一样简单。
你也想有这种能力吗？_
被遗忘的计算规则
探索未知事物往往要从已知中寻找线索，要掌握对数的运算规律先看一下，乘法是怎么计算出来的。
➣请问有没有人能够直接告诉我 是多少？
如果你没有学过速算技巧，那就只能乖乖的在纸上算一下：
1528×7的一种计算方法
仔细的思考一下，你会发现其本质就是把任何数之间的乘法，变成 之间的乘法。
➣为什么要变成 呢？
因为0到9，我们已经计算过一次了，并且还做了一个叫做“九九乘法表”的东西，并且已经烂熟于心。
➣由此可得到什么启发呢？
乘法的运算，就是把一切都变成“乘法表”；那么，对数的计算，也就是把一切都变成“对数表”。
它们的区别仅仅在于：“乘法表”是，而对数表是以
为底；乘法表可以直接背下来，对数表太长，我们只能查。
所以，只要把任何的对数变成形式，那么计算也就完成了，剩下的工作就是查表和四则运算了。
从除法看对数
之前说函数的时候我们谈到过，之所以出现函数的这种写法，主要就是因为符号不够用了。
对数 之所以让人看了容易犯晕，很大程度上就是因为最常见的加减乘除，用的都是符号，而对数运算用的是文字。
乘法和幂对应，除法和对数对应，要从除法运算找灵感，为了易于发现规律，我们让除法也采用函数形式。
商的英文是，那么就像对数一样，我们也取前三个字母。
现在有等式 ，假设其中的
我们是不知道的，设其为
，我们需要用商函数来求。
那么 ，也可以写成
，也可以读作：求以
为底的
的商。
现在为了模拟对数的情况，就假装我们并不知道 的计算技巧，我们需要把右边的式子凑成一个以
为底的商的形式，这样的话我们就可以查“商数表”来计算了。
那么，很自然的， 。
就这么简单计算已经完成了，没错就是这么简单。
滑稽
同理，对数也是这样，把上面所有“商”换成“对数”，就是计算对数的方法。
证明换底公式
之前谈过，对数恒等式 ，现在需要做的就是：把高高在上的这个指数
拿到地下来，表示成
的形式。
然后，我们还清楚，对数有个神奇的能力，就是“运算降级”，所以说真数的幂运算就是对数的乘法运算，。
那么，在恒等式两边都使用 函数，则
，因为对数的“运算降级”，所以
这个高高在上的指数咔嚓一下就掉地下了，变成乘法运算了。
那么就是：，也就是
。
这也就是所谓的“换底公式”，用符号形式来表示，其实就是： 。
证毕~
可以说，换底公式是对数运算的基础，有了它，我们就可以计算任意的对数了。其性质其实和除法非常像，所以并不难，所以可以开玩笑地说“对数是一个换了马甲的除法”。
两个推论
两个推论
这是我从王后雄的教辅上抄的，看着是不是很吓人呐，哎呦呦，看着就头晕。
其实简单的很：
其实就是
=
其实就是
计算镭的半衰期
现在我们已知等式， ；这是幂的形式。
对数形式是 ，叫做：以
为底的
的对数。
然后就是，。
到此为止，计算就完成了，剩下的工作就是查表了。
如果你绕不过弯儿来，那你就把 还原成符号的形式，计算完成之后再还原回来。
求 ，那么
，既然是以
为底，那么就可以简写成
，故
。
其实这就是我们常见的除法运算规则，只不过换成函数形式之后，一时间绕不过弯来，时间长了是一样的。
e的故事
经常见到的 是什么意思呢？这叫做“自然对数”，也就是以
为底的对数。
为什么单单是能够得到如此的赞誉，配得上“自然”二字？
因为，和数学中的很多现象有神秘的关系。
不过说简单也简单，其实e的诞生，源于“利滚利”问题的研究，之前我们刚刚说过。
估计大家早就接触过e了，不过也许你并不懂这是什么意思，这也不奇怪。
e的这个定义，通常都放在大部头的分析教科书的最开始处，这是模仿法国的教法，而丝毫不讲它的来由，这样就丢掉了真正有价值的、能促进理解的部分，即不解释为什么恰好用这样特别的极限做底...这种不问究竟的态度是可鄙的实用主义，它藐视任何一种比较高级的教学原则，对它必须严厉谴责。 - 克莱因 《高观点下的初等数学》[2]
注释
[1] 题目来自《数理化自学丛书》，这一套书是十年动乱之后，高考恢复时，提供给给考生的自学书籍。可以说是一代考生的集体记忆。
[2] 菲利克斯 · 克莱因是 19 世纪末 20 世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人。同时他也是一位教育家，是现代国际数学教育的奠基人。
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心如止水：阅读 思考 践行
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