向量与曲线：2008年理数海南卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-07 18:44 被阅读0次

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向量与曲线：2008年理数海南卷题20

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ; $F_2$ 也是抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2|=\dfrac{5}{3}$ .

（I）求 $C_1$ 的方程；

（Ⅱ）平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$ ，直线 $l// MN$ ，且与 $C_1$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ ，求直线 $l$ 的方程.

根据抛物线的方程可知：焦距 $p=2$ ， $F_2$ 的坐标为 $F_2(1,0)$ , 准线方程为 $x=-1$

∵ $|MF_2|=\dfrac{5}{3}$ ， ∴ $|x_{_M}+1|=\dfrac{5}{3} \Rightarrow\; x_{_M}=\dfrac{2}{3}$

∴ $y^2_{_M}= 4x_{_M}=\dfrac{8}{3}$

∵ $F_2$ 的坐标为 $F_2(1,0)$ , ∴ $c=1$ , $F_1$ 的坐标为 $F_1(-1,0)$ ,

∴ $|MF_1|^2=(\dfrac{5}{3})^2+ \dfrac{8}{3}=(\dfrac{7}{3})^2$

∴ $2a=|MF_1| + |MF_2|=4$ , $a=2,\; a^2=4,\; b^2=3$ .

椭圆 $C_1$ 的方程为： $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} =1$

【解答问题2】

设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+b$ , 则点 $A,B$ 满足如下方程组：

$\left\{ \begin{array}\\ y=kx+t \\ 3x^2 + 4y^2 = 12 \\ \end{array} \right.$

消元后得： $(4k^2+3)x^2+8ktx+4(t^2-3)=0$

$x_1+x_2=\dfrac{-8kt}{4k^2+3}$

$x_1\cdot x_2=\dfrac{4(t^2-3)}{4k^2+3}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 \Rightarrow\; x_1 x_2 + y_1 y_2=0$ ，

$\Rightarrow\; (k^2+1)x_1 x_2 + kt(x_1+_2) + t^2=0$

$\dfrac{4(k^2+1)(t^2-3)}{(4k^2+3)}-\dfrac{8k^2t^2}{(4k^2+3)}+t^2=0$

$4(k^2+1)t^2-8k^2t^2+(4k^2+3)t^2=12(k^2+1)$

$t^2=\dfrac{12}{7}(k^2+1)$

$\overrightarrow{OF_1} + \overrightarrow{OF_2} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}= \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OF_1} + \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OF_2} = 2\overrightarrow{MO}$

直线 $l$ 的斜率 $k=k_{_{OM}}$ , $k^2=\dfrac{y^2_{_M}}{x^2_{_M}}=6$

∴ $t^2=12$

$t_1=-2\sqrt{3},\;t_1=2\sqrt{3}$

直线 $l$ 的方程为： $y=\sqrt{6}x-2\sqrt{3},\;y=\sqrt{6}x+2\sqrt{3}$

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