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幂函数与几何综合：2008年文数海南卷题21

幂函数与几何综合：2008年文数海南卷题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-21 22:54 被阅读0次

幂函数与几何综合：2008年文数海南卷题21

设函数 f(x)= ax - \dfrac {b} {x} ，曲线 y=f(x) 在点 (2,f(2)) 处的切线方程为 7x-4y -12 =0.

（Ⅰ）求 f(x) 的解析式;

（Ⅱ）证明：曲线 y=f(x) 上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

【解答问题Ⅰ】

f'(x)=a + \dfrac{b}{x^2}

直线 7x-4y -12 =0 经过点 (2,\dfrac {1}{2}) 且斜率为 \dfrac {7}{4}

2a-\dfrac{b}{2}=\dfrac {1}{2}

a+\dfrac{b}{4}=\dfrac {7}{4}

解得：a=1,b=3.

函数 f(x) 的解析式为 f(x)=x-\dfrac{3}{x}.

【解答问题Ⅱ】

曲线 y=f(x) 上任一点的坐标可以表示为 P(t,f(t)),

则 f(t)= t- \dfrac {3}{t}, f'(t)=1+ \dfrac {3}{t^2}

过该点的切线方程为 y=(t-\dfrac{3}{t})+(1+\dfrac{3}{t^2})(x-t)

切线与直线 x=0 的交点可记作 N(0,n) , 则

n=(t-\dfrac{3}{t})+(1+\dfrac{3}{t^2})(0-t)=-\dfrac{6}{t}

点 N 坐标为 (0,-\dfrac{6}{t})

切线与直线 y=x 的交点可记作 M(m,m), 则

m=t-\dfrac{3}{t}+(1+\dfrac{3}{t^2})(m-t)

解得：m=2t

所以，切线与直线 y=x 的交点为 M(2t,2t).

所以，\triangle OMN 的面积为

S_{\triangle OMN}= \dfrac {1}{2} |-\dfrac {6}{t} | \cdot |2t| = 6.

证明完毕.

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