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解析几何之目~向量与曲线：2007年文数海南卷题19

解析几何之目~向量与曲线：2007年文数海南卷题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-09 23:19 被阅读0次

向量与曲线：2007年文数海南卷题19

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x^2+y^2-12x+32=0 的圆心为 Q，过点P(0,2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B.

（I）求 k 的取值范围;

（Ⅱ）是否存在常数 k，使得向量 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} 与 \overrightarrow{PQ} 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由.

【解答问题I】

过点P(0,2) 且斜率为 k 的直线方程为：y=kx+2

代入圆的方程可得：x^2+k^2x^2+4+4kx-12x+32=0

(k^2+1)x^2+4(k-3)x+36=0

\Delta=4^2(k-3)^2-4\times36(k^2+1)

=-32k(4k+3)

\Delta \gt 0 \Rightarrow\; -\dfrac{3}{4} \lt k \lt 0

结论： k 的取值范围：(-\dfrac{3}{4}, 0)

【解答问题Ⅱ】

过点P(0,2) 且斜率为 k 的直线方程为：y=kx+2,

代入圆的方程得：(k^2+1)x^2+4(k-3)x+36=0

根据韦达定理：x_1+x_2=-\dfrac{4(k-1)}{k^2+1}

y_1+y_2=k(x_1+x_2)+4=-\dfrac{4k(k-3)}{k^2+1}+4

\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (-\dfrac{4(k-3)}{k^2+1}, -\dfrac{4k(k-3)}{k^2+1}+4)

圆心坐标为 Q(6,0), \overrightarrow{PQ}=(6,-2).

因为向量 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} 与 \overrightarrow{PQ} 共线，所以：

6 \times [4-4\dfrac{k(k-3)}{(k^2+1)}] -2\times4\dfrac{(k-3)}{(k^2+1)}=0

解得：k=-3

根据问题1的结论，直线与圆Q 存在两个交点的前提是：k \in (-\dfrac{3}{4}, 0),

所以， \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} 与 \overrightarrow{PQ} 共线是不可能的。

【提炼与提高】

解答本题需要用到以下知识：

『判别式』

『韦达定理』

『向量共线』

本题难度不高，考查内容较全面，适合用作《直线与圆》部分的补充习题。

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