推荐达纳·麦肯齐的这本书：《无言的宇宙》（The Universe in Zero Words），讲的是24个数学公式背后的故事。
《无言的宇宙》 达纳·麦肯齐
数学常常让我感到不可思议。
从小学的时候学习π开始。一个圆规以1为半径画一个半圆，周长就是π，一个拖着无限不循环的尾巴的奇怪的数字。
这个数字无穷无尽、无规律可言、无迹可寻，永远无法被完整地表达。在以简洁漂亮为美的数学里，这个数字显得如此格格不入让，让我感到困惑、烦闷，甚至是不安。
无理数这样奇葩的东西，存在的意义是什么，是打破人类对美的追求的幻想吗？
圆形这么一个随处可见的、普普通通的东西，为什么连周长都无法被精确地描述；
圆形这样一种充满了对称感的，看上去如此和谐、完美的东西，为什么会和无理数这样毫无美感可言的乱糟糟的东西捆绑在一起？
π，是上帝造出来嘲讽人类的无知的吗？
更莫名其妙的是，π作为一个几何的概念，竟然还能和算术扯上关系。比如下面这个公式：
图片来自于网络
我定定地看着这个公式，足足有两分钟回不过神来。
这个公式真的是太让人吃惊了。一个是代表几何的数字，一个是算术里的奇数序列和平方序列。几何和算术的这两大数学支流，竟然以无穷分析的形式汇集在了一起。左边是无理数的平方，右边是有理数的无穷数列，数列的形式又是如此的优美，中间竟然能划上等号……
《无言的宇宙》里是这样评论π的：
“看到这样的公式，阿基米德会目瞪口呆、刘徽会无语凝眸……如果上帝创造了整数，而且他也创造了π，那或许上帝其实是一台计算机。”
更有甚者。最让我无语的公式，是数学爱好者们耳熟能详的——欧拉公式。
欧拉公式
古人感慨乐曲之美——“此曲只应天上有，人间能得几回闻”；同样的，欧拉公式之美，仿佛也不应存在于这个世间。
e：自然对数的底
i：虚数单位，-1的平方根
π：无理数
1：乘法单元
0：加法单元
这五个至关重要的数学元素，通过加、乘、指数三种基本运算组合在了一起。形式上，极致的简洁；意义上，却细思极恐——
π和i的相乘？这该是个怎样诡异的数字？然后这个数字再作为e的指数？结果竟然会是-1？……
欧拉公式，被誉为上帝公式，又被成为“有史以来最优美的等式”。《无言的宇宙》里说：“这个公式是数学上最为矛盾的命题之一。”在数学爱好者眼里，这个公式道尽了一切数学之美。
数学的不可思议，还体现在几何和算术、时间和空间的交错上。
比如，回到i这个虚数单位。把-1拿来开平方，本来就好像“除以零”一样，只想回答“怎么可能”。可这个被科学家拿来作为算术的工具的数字，竟然还有几何的意义……
代数运算“乘以i”，相当于几何运算：“逆时针方向转动90度”——这可是-1的平方根啊，怎么就相当于逆时针转90度了呢？
再比如创造了四元数的汉密尔顿，在他的理论里，时间和空间合并成了单一“时空”（至于怎么合并的，我也没看懂）。
在汉密尔顿的四元数中（表达式为a+bi+cj+dk），其中表示空间三维的i、j、k，都是虚数，而时间（a）却是实数。这真是个绝妙的讽刺——
空间是虚数，时间是实数，真实的世界与虚拟的世界，位置竟然刚好颠倒了过来。
数学所展示的这些匪夷所思的联系，宛如神迹，每一项都有让人五体投地顶礼膜拜的威压。我不敢想象，也想象不出来，这一切的背后，到底有着怎样的意义。
数学是特殊的。实证科学类，包括物理、化学、生物等，是为了描述这个世界、表达宇宙知识的一种语言。它们存在的目的，是为了解读这个世界。数学的特殊性在于，除了和实证科学一样的功用外，它自己还是一个独立存在的知识体系。换言之，数学存在的目的，也可以是数学本身。
数学又是严谨的。数学所描述的事实，不能通过经验、道理、统计或测试的方式来证明，只能通过数学本身的方式来证明。这是区分数学和其它学科，包括实证科学的一大原则。
因此，《无言的宇宙》中提到，物理学是我们这个宇宙范围内的，因为物理理论最终都需要被实验所检验。但数学是超越我们这个宇宙的，它的规则的普适性，或许可以描述一切可能存在的宇宙。
图片来自于网络
从我所看到的数学所展示的神迹而言，或许真的只有数学，可以担得起“描述一切可能存在的宇宙”这等不可能的任务。
但是，掌握了数学工具的人类，还远远达不到全知全能的神的状态。
20世纪的人类，最最重要的成就，在我看来，不是发现了相对论、量子力学，不是掌握了核能，也不是证明了费尔马大定理，而是——明确地认识到人类认知的局限性。
一个局限，来自于量子力学。海森堡的测不准原理，从微观的角度划定了人类理解的边界。
另一个局限，来自于数学。哥德尔的不完备定理，证明了：
1）任何令人信服并足以包括数学一般规则的公理体系都必须包括同为正确与不可证明的叙述。
2）公理体系本身的一致性是无法证明的。
换言之，人类永远无法证明一个公理体系。那只是一个出发点而已。可能在某一天，某个物种可以就1+1=3提出一项完全有理有据的证明，并以此为基础建立一套全新的公理体系。
从这个角度而言，量子力学所属的科学，哥德尔定理背后的数学，以及加缪的荒诞理论代表的哲学，都指向同一个方向：
人类永远无法完全地、精确地理解这个世界。
在通往绝对真理的道路上，哲学走不通，科学、数学同样走不通。
《三体》里让我触动最深的一句话是：“弱小和无知不是生存的障碍，傲慢才是。”
这也正是我推荐《无言的宇宙》的原因：让我们多一分对未知的敬畏，少一分源自无知的傲慢。
文 | 乐之读 | 简书签约作者
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网友评论
达摩😂
作者知道为什么光速不变吗？
数学是科学吗？
谈论一个概念，先要界定这个概念。
科学最本质的特点是什么？就是能够证伪。科学依靠发现而发展。
物理化学生物莫不如此。
好，有了定义，我们来看数学。
数学能够被证伪吗？逻辑上已经证明，我们无法对数学结论正确与否证伪。
数学研究时发现自然界的规律吗？不是，数学是一套定义体系，数学依靠发明而发展。
数学是建立在公理基础上的逻辑推演和逻辑推演结果集。数学不可被证实，也不可被证伪。判定一个数学理论是否正确，仅仅只能靠逻辑推演。
当我们发现一个按逻辑推演正确的数学理论与实践结果不符的时候，我们既不能判定数学理论的错误，也不能判定实践结果错误，只能判定这种数学理论不适合该实践。
数学是纯粹的逻辑推演，我们知道一个苹果加一个苹果是两个苹果，我们甚至在现实中找不到一个数学意义上的1+1=2的实例，因为我可以另外定义1+1。
以我个人看法，数学和逻辑学比较接近，和哲学也有一点交集。
哲学某种程度上构成逻辑学的基础，逻辑学构成数学和一切知识的基础。
但是哲学和逻辑学依靠经验和假设，理论上经验总是有限的，可能有例外。
比如，经验告诉我们整体大于部分，但是如果计数，1CM长的线段上的点和整条直线上的点一样多！
但不是科学并不能掩盖数学的伟大。科学和其他学科相比并没有高人一等。科学是可以证伪的
是属于宇宙的密码
密码居然是个无理数
周长不精确
周长精确了
直径不精确
彼此相依存
彼此不可度
端视得圆满
深思归绝路