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高中数列之目~裂项求和：2017年理数全国卷B题15

高中数列之目~裂项求和：2017年理数全国卷B题15

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-15 07:32 被阅读0次

2017年理科数学全国卷二题15

等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n,a_3=3,S_4=10，则 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{S_k}=\underline{\mspace{100mu}} .

【解】

由已知条件可得：

a_1+2d=3

4a_1+6d=10

解得：a_1=1,\; d=1

所以，S_n=\dfrac{1}{2}n(n+1)

\dfrac{1}{1 \times 2}+ \dfrac{1}{2 \times 3}+ \dfrac{1}{3 \times 4}+\dots+ \dfrac{1}{n(n+1)}

=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots +\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}

=1-\dfrac{1}{n+1}

结论： \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{S_k}=2 -\dfrac{2}{n+1}.

【提炼与提高】

裂项求和 是高中数列中一项标准的方法。细心一些，避免计算出错即可。具体说来有几点：

1）首项和尾项的值不要搞错。

2）以本题为例， S_n 中有个 \dfrac{1}{2}，这个是在分母上，不要忘记，不要放错位置。

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