高中数列之目：2021年理数全国卷B题19

高中数列之目：2021年理数全国卷B题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-23 10:05 被阅读0次

2021年理数全国卷B题19

分值：12分

记 $\lbrace S_n \rbrace$ 为数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的前项和， $\lbrace b_n \rbrace$ 为数列 $\lbrace S_n \rbrace$ 的 $n$ 前项积，已知 $\dfrac{2}{S_n} + \dfrac{1}{b_n} =2$ .

（1）证明： $\lbrace b_n \rbrace$ 是等差数列；

（2）求 $\lbrace a_n \rbrace$ 的通项公式.

【解答第1问】

依题意可知： $b_n = b_{n-1} \cdot S_n$

$\dfrac{1}{S_n} = \dfrac{b_{n-1}}{b_n}$

∴ $\dfrac{2 b_{n-1}}{b_n} + \dfrac{1}{b_n} =2$

$b_n - b_{n-1} = \dfrac{1}{2}$

∴ $\lbrace b_n \rbrace$ 是等差数列. 证明完毕.

【解答第2问】

∵ $b_1=S_1=a_1$ , 代入已知条件可得：

$\dfrac{2}{a_n} + \dfrac{1}{a_n} =2$

解得： $a_1= \dfrac{3}{2}$

$S_1 = b_1= \dfrac{3}{2}$

数列 $\lbrace b_n \rbrace$ 的通项公式为： $b_n=1+ \dfrac{n}{2}$ .

当 $n \gt 1$ 时， $S_n = \dfrac{b_n}{b_{n-1}} = 1+ \dfrac{1}{n+1}$

$S_1=\dfrac{3}{2}$ , 符合以上公式；

当 $n \gt 1$ 时， $a_n = S_n - S_{n-1} = \dfrac{-1}{n(n+1)}$

数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的通项公式如下：

$a_n = \left\{ \begin{array}\\ \dfrac{3}{2} \quad (n=1) \\ \\ \dfrac{-1}{n(n+1)} \quad (n>1) \end{array} \right.$

【提炼与提高】

考试考什么？就考基本概念和基本方法。

2021年的这个高考题就体现了这点。如果熟悉数列的基本思想和方法，这个题就不难解出；假如痴迷“刷题”，不注重基本思想和方法，遇到这样基本又简单的问题反而有可能卡住。

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