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高中数列之目：2021年理数全国卷B题19

高中数列之目：2021年理数全国卷B题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-23 10:05 被阅读0次

2021年理数全国卷B题19

分值：12分

记 \lbrace S_n \rbrace 为数列 \lbrace a_n \rbrace 的前项和， \lbrace b_n \rbrace为数列 \lbrace S_n \rbrace 的 n 前项积，已知 \dfrac{2}{S_n} + \dfrac{1}{b_n} =2.

（1）证明： \lbrace b_n \rbrace 是等差数列；

（2）求 \lbrace a_n \rbrace 的通项公式.

【解答第1问】

依题意可知：b_n = b_{n-1} \cdot S_n

\dfrac{1}{S_n} = \dfrac{b_{n-1}}{b_n}

∴ \dfrac{2 b_{n-1}}{b_n} + \dfrac{1}{b_n} =2

b_n - b_{n-1} = \dfrac{1}{2}

∴ \lbrace b_n \rbrace 是等差数列. 证明完毕.

【解答第2问】

∵ b_1=S_1=a_1, 代入已知条件可得：

\dfrac{2}{a_n} + \dfrac{1}{a_n} =2

解得：a_1= \dfrac{3}{2}

S_1 = b_1= \dfrac{3}{2}

数列 \lbrace b_n \rbrace 的通项公式为：b_n=1+ \dfrac{n}{2}.

当 n \gt 1 时，S_n = \dfrac{b_n}{b_{n-1}} = 1+ \dfrac{1}{n+1}

S_1=\dfrac{3}{2}, 符合以上公式；

当 n \gt 1 时，a_n = S_n - S_{n-1} = \dfrac{-1}{n(n+1)}

数列 \lbrace a_n \rbrace 的通项公式如下：

a_n = \left\{ \begin{array}\\ \dfrac{3}{2} \quad (n=1) \\ \\ \dfrac{-1}{n(n+1)} \quad (n>1) \end{array} \right.

【提炼与提高】

考试考什么？就考基本概念和基本方法。

2021年的这个高考题就体现了这点。如果熟悉数列的基本思想和方法，这个题就不难解出；假如痴迷“刷题”，不注重基本思想和方法，遇到这样基本又简单的问题反而有可能卡住。

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