高中数列之目：2021年理数全国卷B题19

高中数列之目：2021年理数全国卷B题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-24 16:45 被阅读0次

2021年理数全国卷B题19

分值：12分

已知数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的各项均为正数，记 $S_n$ 为数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的前 $n$ 项和，从下面 ①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

① 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 是等差数列；

② 数列 $\lbrace \, \sqrt{S_n} \; \rbrace$ 是等差数列；

③ $a_2=3a_1$

【分析】

三选二，有3种方案。按照从易到难的次序，分别是：

（1）选①③为条件，证明②成立；

（2）选②③为条件，证明①成立；

（3）选①②为条件，证明③成立；

在考试中，自然应该选择难度最低的答题；在平时的训练中，则应当三个都做，以提高自己的能力。

以下，我们应按从易到难的次序分别作答。

【按第1套选择作答】

选①③为条件，证明②成立.

∵ 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 是等差数列， $a_2=3a_1$

∴ 公差 $d=2a_1$

∴ $S_n=na_1+ \dfrac{1}{2}n(n-1)d$

$=n^2a_1$

又∵ 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的各项均为正数，

∴ $\sqrt{S_n} = n \sqrt{a_1}$

$\sqrt{S_{n+1}} - \sqrt{S_{n}} = \sqrt{a_1}$

∴ 数列 $\lbrace \, \sqrt{S_n} \; \rbrace$ 是等差数列. 证明完毕.

【按第2套选择作答】

选②③为条件，证明①成立.

∵ $a_2=3a_1$ ,

∴ $S_2= a_1+a_2 = 4a_1$

∵ $S_1=a_1$ , ∴ $\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}$

$\sqrt{S_2}- \sqrt{S_1} = \sqrt{a_1}$

又∵ 数列 $\lbrace \, \sqrt{S_n} \; \rbrace$ 是等差数列,

∴ $\sqrt{S_n} = n \sqrt{a_1}$

∴ $S_n = n^2 a_1$

$a_{n+1} = S_{n+1} - S_{n}$

$=(n+1)^2 a_1 - n^2 a_1$

$=a_1 + 2na_1$

∴ 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 是等差数列. 证明完毕.

【按第3套选择作答】

选①②为条件，证明③成立；

记 $B_n=\sqrt{S_n}$ , 则数列 $\lbrace B_n \rbrace$ 是等差数列；

记其公差为 $D$ , 则 $B_{n+1} = B_n +D$

$S_{n+1} = B^2_{n+1} = B^2_n + D^2 + 2 \cdot D \cdot B_n$

$a_{n+1} = S_{n+1} - S_{n}$

$=D^2+2DB_n$

$=D^2 + 2D\cdot[B_1+(n-1)D]$

$=2nD^2-D^2+2DB_1$

∴ $a_{n+1}-a_n=2D^2$ , 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的公差为 $2D^2$ ,

∴ $a_2=2D^2+a_1$

又∵ $B_1=\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}$ ,

$a_2=D^2+2D \sqrt{a_1}$

∴ $D^2-2D\sqrt{a_1}+a_1=0$

∴ $(D-\sqrt{a_1})^2=0$

∴ $D=\sqrt{a_1}$

∴ $a_2-a_1=2D^2=2a_1$

∴ $a_2=3a_1$ . 证明完毕.

【提炼与提高】

高考的指挥棒在缓缓移动。

“大量的、重复性的、机械的训练，导致学生思维僵化，培养不出创新人才。” 这是对于目前高考的一种批评。

在现行高考制度的框架内，有没有一些办法克服思维定式，引导学生多思考？回答是肯定的。

以本题而言，三套方案，难度从低到高。稍加思考就会发现：从 ①③ 出发，推出 ② 是难度最低的.

假如不动脑子，“条件反射” 式地从从 ①② 出发，推导③，从考试拿分的角度来说，就吃亏了。

在《怎样解题》一书中，玻利亚把解题过程分为四个阶段：

第一，我们必须理解该题目，我们必须清楚的看到所要求的是什么。
第二，我们必须了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟定一个解题方案。
第三，我们执行我们的方案。
第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它。

如果学生还没有理解题目，就着手计算和作图，那就可能发生最糟糕的事情了。在还没有看清主要的联系或拟定方案前，就投身到具体的细节中去，通常是无用的。

类似 “三选二” 这样的考题，或许能够帮助学生，养成的动手前看清主要联系并拟定解题方案的习惯。

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