积分题9

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-12-25 23:54 被阅读0次

积分题9
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2019-4-4. 曲面 $S=\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 : 1-z^2=x^2+y^2 \leq 2z \}$ 的方向由其与 $z$ 轴正半轴成锐角的单位法向量场确定。计算向量场 $\overrightarrow{F}=(x^2,y^2,z^2)$ 穿过曲面 $S$ 的通量。坐标系为笛卡尔直角坐标系。

由题，曲面 $S$ 的单位法向量为 $\overrightarrow{n}= \frac{\nabla f(x,y,z)}{|\nabla f(x,y,z)|}=(x,y,z)$
所以， $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} = x^3 + y^3 +z^3$
即求， $\iint\limits_{S} (x^3 + y^3 +z^3) \mathrm dS$
由对称性容易发现 $x^3$ 和 $y^3$ 两部分的积分都为 $0$ 。
再将其转为在球面坐标系中求解，所以有
$\begin{cases} x &= \sin \varphi \cos \theta \\ y &= \sin \varphi \sin \theta \\ z &= \cos \varphi \end{cases}$
且由题知 $\varphi \in [0,\arccos(\sqrt 2 - 1)] , \theta \in [0,2\pi]$ ，所以
$\begin{align*} \iint\limits_{S} (x^3 + y^3 +z^3) \mathrm dS &= \iint\limits_{S} z^3 \mathrm dS \\ &= \int_0^{\arccos(\sqrt 2 - 1)} \sin \varphi \mathrm d \varphi \int_0^{2\pi} \cos ^3 \varphi \mathrm d \theta \\ &= 2\pi \int_{\sqrt 2 -1}^1 z^3 \mathrm d z \\ &= \frac{\pi}{2}(1-(\sqrt 2 -1)^4) \\ &= \pi (6\sqrt 2 -8) \\ \end{align*}$