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从课本到高考的高中数学笔记:函数零点存在定理

从课本到高考的高中数学笔记:函数零点存在定理

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-04 19:28 被阅读0次

    习题4.5 题7

    设函数 f(x)=ax^2+bx+c(a \gt 0, \,b,\,c \in \boldsymbol{R}),且 f(1)= - \dfrac{a}{2}

    求证:函数在 (0,2) 内至少有一个零点.


    【解】

    f(1)=a+b+c= - \dfrac{a}{2}

    b=-\dfrac{3}{2}a -c

    f(2)=4a+2b+c = a-c

    f(x) 是连续函数;

    a \gt 0, f(1) \lt 0;

    f(0) = c,

    c =0, 则 f(2) \gt 0, f(1)f(2) \lt 0, 在 (1,2) 区间存在零点;

    c \lt 0, 则 f(2) \gt 0, f(1)f(2) \lt 0, 在 (1,2) 区间存在零点;

    c \gt 0, 则 f(0) \gt 0, f(0)f(1) \lt 0, 在 (0,1) 区间存在零点;

    综上所述,函数在 (0,2) 内至少有一个零点. 证明完毕.


    【提炼与提高】

    这是《高中数学必修一》的一个习题. 安排这样一道习题,自然是为了让学生熟悉以下定理:

    『函数零点存在定理』
    如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 f(a)f(b) \lt 0 ,那么,函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内至少有一个零点,即存在 c \in (a,b) ,使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的解.

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