立体几何之目：2007年文数海南卷题18与「常见四面体Ⅰ」

立体几何之目：2007年文数海南卷题18与「常见四面体Ⅰ」

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-20 08:27 被阅读0次

2007年文数海南卷题18（12 分）

18.（本小题满分12 分）

如图， $A，B，C，D$ 为空间四点，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=2，AC=BC=\sqrt{2}$ ，等边三角形 $ADB$ 以 $AB$ 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 $ADB \perp$ 平面 $ABC$ 时，求 $CD$ ;

（Ⅱ）当 $\triangle ADB$ 转动时，是否总有 $AB \perp CD$ ? 证明你的结论.

2007年文科数学海南卷

【解答问题Ⅰ】

记 $AB$ 中点为 $M$ ，连接 $MC,MD$ .

$\because AC=BC, MA=MB$

$\therefore MC \perp AB$ （三线合一）

$\because AD=BD, MA=MB$

$\therefore MD \perp AB$

当平面 $ADB \perp$ 平面 $ABC$ 时， $MD \perp MC$ , $CD^2=MC^2+MD^2$

$\because AB=2，AC=BC=\sqrt{2},\;\therefore AB \perp BC$

又 $\because MA=MB$

$\therefore MC=\dfrac{1}{2}AB=1$

$\because \triangle ADB$ 是等边三角形 $\therefore MD=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{3}$

$\therefore CD^2=4, CD=2.$

【解答问题Ⅱ】

$\because MC \perp AB, MD \perp AB, MC \cap MD = M$

$\therefore AB \perp$ 平面 $MDC$

又 $\because CD \subset$ 平面 $MDC$

$\therefore AB \perp CD$ . 证明完毕.

【回归教材】

这是一道源自课本题的高考题。原题是这个题：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

【提炼与提高】

在最近十年的高考中，这一题根改头换面，出现了多次。务必要引起高度重视。

因为这个模型频繁出场，我们给它起个名字：『第一类常见四面体』。注意这不是一个正式的数学术语，只是一个昵称。

『第一类常见四面体』的特征：一个面是正三角形，另一个面是等腰直角三角形。

以下两卷直接使用了本题的基本模型：

2009年理数海南卷题19

2017年文数全国卷C19

另外一些考题作了轻度改造，但是仍然可以认出这个『第一类常见四面体』：

2018年全国卷B（文数与理数使用同一模型）

2013年全国卷A

2014年全国卷A

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