表示论

　　说之前先抱个大树，我今天说的这个表示论，其实就是现代语言讲的古代名家的名实之辩，只是范畴上对名的部分稍微扩展了一点而已。

　　首先，我们从数学里面的群表示论这个大家比较容易了解到的领域的开始。一般而言，一个群有多种表示。所谓的表示，是指这个群在这个表示上或多或少的通过其表示，把这个群的自身的结构进行了展现。这个是表示这个名字的来由。

　　当然，岔开一点话题来说，一个表示可能比较完整的表现了一个群的结构，也可能比较粗略。前者的极端是这个群自己就是自己的一个表示。后者的一个极端是拿仅含单位元的群来表示。这两个东西稍显蛋疼。反正，表示里面有表示的好的，也有表示的不怎么样的，其中能够完整表示群的结构的叫做忠实表示。这些大家应该都熟悉，我就是随口这么一岔。我要讨论的是关于表示本身这件事情，所以关于特征标那些就不扯了。

　　从群表示这个事情上，我们可以发现“群”这个事物，它可以用其它的“群”来进行表示。它的特质可以在表示中得到体现。这个是个比较重要的事情。

　　我们来考虑这样的问题：我们为什么要把一个群用另一个群来表示？

　　可能光学了群表示论，不怎么经常用群表示做事情的话，这个为什么也许还不是那么好体会到。

　　我上初中的时候，我们数学老师讲什么问题的时候，说了一个非常重要的数学思想。我至今记忆犹新。他说，数学的原则就是化简。把负责的东西利用已知的知识分解成简单的各个部分，把不熟悉的东西用熟悉的东西去理解、描述。

　　这个是人类的一个创举。这件事情不仅仅在数学上，整个人类历史都是依靠这个发展起来的。

　　我以前有个学语言学的朋友，我说你学什么方向，她说她学隐喻。我问她这个是什么，她说如果我们想表达股票价格在增加这个事情，一般我们说什么，我说都说“股票在上涨”。她说你看，上和涨这两个原本不表达价格增加的词，你拿来描述，实际上就是隐含的在把股票价格比喻成河流水位这个东西。

　　这个就是隐喻，人用生活中熟悉的语言词汇去描述抽象的概念。为什么这么做呢。只有一个原因，因为人比较熟悉这些词汇，而抽象的那个概念用这些熟悉的东西去描述时，就容易理解了。

　　所以回到群表示论来，我们总是把一些不容易理解的，或者比较难于直接处理的群，用我们很熟悉的矩阵群来表示，为什么这么做呢? 其实很简单，矩阵群嘛，太方便处理了。

　　现在我们稍微把视野扩大一点点，其实并非只有群才有表示这个东西。常见的代数结构里面，群、环、域都有自己的表示。我们都可以像研究群表示论一样，去研究环的表示论、域的表示论。不过群的表示论是这些表示论的基础。不过说回来，半群、幺半群这些也有表示论，这些应该是比群表示论要基础点的。

　　然后我们来看看一个我们也非常熟悉的东西，复数。这个东西稍微复杂点，它身上有很多结构。不过不妨碍它具有多重表示这个事实。我们经常用到的两种表示：直角坐标表示和极坐标表示。我们稍微细致一点来看看这两种表示有什么差异。直角坐标表示做加减法很方便，而极坐标表示做乘法、乘方很方便。这个高中生都知道。如果谁拿一个做加减法的问题的时候用了极坐标表示，那么只能说这家伙蛋疼的不行了。聪明点的办法是把极坐标表示转化为直角坐标表示之后再做加减法。

　　看到没，这个时候我们涉及了两件挺重要的事情。

　　第一个是一个事物（注意我们现在已经不局限于群了）的各种不同表示虽然都表现了事物的特质，但是由于表示所基于的平台不同，不同表示会具有不同的特性。这些特性实际上都是这个被表示的事物所具有的。你不能说直角坐标表示算出来加法的结果就一定对，而硬是用极坐标表示算出来的就一定不对。其实仅仅是一种表示算起来容易，而另一种表示算起来难而已。这有点像盲人摸象，一个人摸出一种样子，但是并不代表任何一个人摸出来的都不对。只是从不同的侧面表现了同一个事物而已。

　　第二个事情就是，不同的表示相互之间可以转化，不存在完全孤立的表示。不过这个是有个限定条件的，就是这些表示应当都是忠实的，不然不行。我们可以从忠实表示转化到非忠实表示，但是反过来却不行。这中间有一个信息的丢失过程。实质上是蕴含了热力学第二定律在里面，熵在增加。我们不讨论熵增这个事情，跟今天的话题无关。

　　这两个关于表示更加一般性的特质我们总结一下。一个是不同表示在不同侧面上表现一个事物。另一个事不同表示之间可以相互变换。然后其实还有第三个特质，这个才是哲学味道非常浓厚的。

　　我再问个问题：我们可以不借助任何一种表示，而直接陈述一个事物本身吗?

　　也许会有人尝试这么做，不过我抱定一个信念，我们对于事物的描述和理解，其实是建立在各种表示之上的。

　　举个例子，苹果这个事物。如果我们用眼睛去看它，事实上我们看到的并非苹果本身，而是它所散射出来的光线在我们视网膜上所呈的实像。甚至于我们都没有直接“看到”这些光线，我们仅仅是感知到这些光线激发的神经元所传送来的电脉冲而已。你所看到的仅仅是一个苹果的视觉表示。那么我们用嘴巴去说它，呵呵，我们就涉及了声音、语言多种表示的范畴。简单从语言上说，中文的“苹果”、英文的“apple”就是同一个事物的两种不同表示。

　　所以说，从感知论的角度来说，我们就脱离不了表示这个东西。因此，对于我们的意识来说，它对世界的认知完全是建立在各种各样的表示基础上的。我们的意识无法脱离具体的表示去认知事物。这个是主观角度的，我更倾向于客观表示论的观点，事物本身就是以各种各样的表示存在于世界上的，不存在完全孤立的事物。不过这个主观、客观的区分实际上有鸡生蛋蛋生鸡的味道，扯不清楚的。不多说。

　　然后我们总结表示论的三个特点:

1. 事物有多种表示, 各个表现同一事物的不同侧面;

2. 事物的表示可以相互转化变换;

3. 不存在能够完全脱离表示而独立存在的“纯粹”事物。

　　这个就是表示论的三个核心。可以看到，它确实比群表示论更加泛化了。

　　最后，总是抬头看星星，自己脚底下的路还是要走的。光抬头看星星不留神栽沟里的那种人叫书呆子。还有一种看星星的人，看完了星星可以告诉船长往那边走的，这种人比书呆子有用，叫领航员。我也不打算帮别人谁领航，反正能帮我自己领航就好了。最后这点，我讲个小故事，我了解了表示论之后拿它领航的事情。

　　中国人学物理，如果出不去，就得烂在国内学术圈里，成个歪瓜裂枣什么的，这种事情我不愿意干。所以我没本事没钱出去，就果断决定毕业了转行。于是我去做软件了。在设计软件的时候，我发现，其实软件上要表达的事物也是具有多种表示的，在数据库里面的数据表示，在界面上的可视化表示等等。然后在可视化表示里面，还有列表表示、图形表示等等多种不同的表示方式。于是我发扬自己给自己领航的精神，在写这些代码和结构的时候，选定了一个易于操作的表示作为中心表示，来接受各种操作的控制，而其它所有的存储、显示上的表示都向这个中心表示看齐。

　　简单说就是，如果操作，则直接到这个中心表示上来做操作，而后再把操作的结果从中心表示用变换传递到存储、显示各个环节上去。结果这么一弄，我发现我要处理的问题简单了，程序的可靠性和写程序的时候的复杂性都得到了优化，用非常少的代价获得了一个不错的成效。

　　好了，关于表示论，挺有哲学味的一个东西扯完了。

后记

有朋友跟我说你这个写的不友好，太烧脑，我在偷偷笑。有人喜欢阳春白雪，有人喜欢荆棘丛中信步游，何必强求口味一致呢。我就属于后者，看文章收效上，喜欢挑战自我思维能力的同好还是挺多，不如分享点其它小小心得，一起来享受下大脑超频的乐趣吧。以下文章均是入选过首页推荐的文章，质量上该算还过得去，至于错别字嘛，呃 ~ ~ ~ ~ ~

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