复变函数积分

作者: Raow1 | 来源:发表于2021-02-21 01:03 被阅读0次

复变函数积分
复变函数积分
昨日成就以及今日学习
复变函数与积分变换第二版课后答案 (苏变萍)
2018-10-06
多复分析-简单的区域
不要再问我卷积了！看不懂找我要红包
回顾我的四年机加工生涯，发现没有一本书叫做【从入门到精通】
躁起来吧，科密们！
变限积分函数的求导

2017-1-13. 求积分 $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z^3}{z+3}\sin(\frac{1}{z})\mathrm dz$ ，积分路径为逆时针方向。

显然， $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z^3}{z+3}\sin(\frac{1}{z})\mathrm dz = -2\pi i(\mathrm Res[f(z),-3]+\mathrm Res[f(z),\infty])$
$\begin{align*} \mathrm Res[f(z),-3] &= \lim_{z \to -3}(z+3)\frac{z^3}{z+3}\sin(\frac{1}{z}) \\ &= 27\sin\frac{1}{3} \end{align*}$
当 $|z|>3$ 时，展开函数得
$\begin{align*} f(z)&=z^3\frac{1}{z}(1-\frac{3}{z}+\frac{9}{z^2}+\cdots)(\frac{1}{z}-\frac{1}{3!z^3}+\cdots) \\ &= z^2\cdot (-\frac{1}{6z})+z^2 \cdot \frac{9}{z^2}\cdot \frac{1}{z}+\cdots \\ &= \frac{53}{6z}+\cdots \end{align*}$
所以
$\mathrm Res[f(z),\infty] = -\frac{53}{6}$
所以 $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z^3}{z+3}\sin(\frac{1}{z})\mathrm dz = 2\pi i(\frac{53}{6}-27\sin \frac{1}{3})$

2017-2-13. 求积分 $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z}{z+i}\sin(\frac{z+i}{z-i})\mathrm dz$ ，积分路径为逆时针方向。

显然， $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z}{z+i}\sin(\frac{z+i}{z-i})\mathrm dz = -2\pi i \mathrm Res[f(z),\infty]$
当 $|z|>1$ 时，展开函数得
$\begin{align*} f(z) &= z\frac{1}{z}(1-\frac{i}{z}+\cdots) \sin (1+\frac{2i}{z-i}) \\ &= (1-\frac{i}{z}+\cdots) \sin (1+\frac{2i}{z}+\cdots) \\ &= (1-\frac{i}{z}+\cdots) \frac{e^{i(1+\frac{2i}{z}+\cdots)}-e^{-i(1+\frac{2i}{z}+\cdots)}}{2i} \\ &= (1-\frac{i}{z}+\cdots) \frac{e^i e^{\frac{-2}{z}}\cdots - e^{-i} e^{\frac{2}{z}}\cdots}{2i} \\ &= (1-\frac{i}{z}+\cdots) \frac{(\cos 1+i\sin 1)(1-\frac{2}{z}+\cdots)\cdots-(\cos(-1)+i\sin(-1))(1+\frac{2}{z}+\cdots)\cdots}{2i} \\ &= (1-\frac{i}{z}+\cdots) (\sin 1 +\frac{2i}{z} \cos 1+\cdots) \\ &= \frac{-i \sin 1+2i \cos 1}{z} + \cdots \end{align*}$
所以，
$\mathrm Res[f(z),\infty] = i(\sin 1 -2\cos 1)$
所以 $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z}{z+i}\sin(\frac{z+i}{z-i})\mathrm dz = 2\pi(\sin 1 -2\cos 1)$

2017-3-13. 求积分 $\oint\limits_{|z+\frac{1}{2}|=1}\frac{z^2}{1-z}\exp(\frac{1}{z+1})\mathrm dz$ ，积分路径为逆时针方向。

显然， $\oint\limits_{|z+\frac{1}{2}|=1}\frac{z^2}{1-z}\exp(\frac{1}{z+1})\mathrm dz = -2\pi i(\mathrm Res[f(z),1]+\mathrm Res[f(z),\infty])$
$\begin{align*} \mathrm Res[f(z),1] &= \lim_{z \to 1}(z-1)\frac{z^2}{1-z}\exp(\frac{1}{z+1}) \\ &= -\sqrt e \end{align*}$
当 $|z|>1$ 时，展开函数得
$\begin{align*} f(z)&= z^2 (-\frac{1}{z})(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\cdots)\exp[\frac{1}{z}(1-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\cdots)] \\ &= -z(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\cdots) (1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\cdots)(1-\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2!z^4}+\cdots)\cdots \\ &= -z(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\cdots)(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}-\frac{1}{z^2}+\cdots) \\ &= \frac{1}{z}(\frac{1}{2}-1-1)+\cdots \\ &= -\frac{3}{2z}+\cdots \end{align*}$
所以，
$\mathrm Res[f(z),\infty] = \frac{3}{2}$
所以 $\oint\limits_{|z+\frac{1}{2}|=1}\frac{z^2}{1-z}\exp(\frac{1}{z+1})\mathrm dz= 2\pi i(\sqrt e -\frac{3}{2})$

复变函数积分
本篇记录一下复变函数积分（沿指定闭曲线）的求解方法，主要为了串联一下级数，留数和积分的关系，方便理解和记忆。 1....
复变函数积分
2017-1-13. 求积分，积分路径为逆时针方向。显然，当时，展开函数得所以所以 2017-2-13. 求...
昨日成就以及今日学习
昨天看了复变函数与积分变换，复变函数一些概念以及解析是什么东西，以及连通集等一些概念有所了解。状态有些不对，下午我...
复变函数与积分变换第二版课后答案 (苏变萍)
复变函数与积分变换第二版课后答案 (苏变萍) 第1-2章第3-5章
2018-10-06
二、留数法将复平面中的线积分问题,转化为围线积分,从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果。原问题:如果增加一条...
多复分析-简单的区域
区域一般指开连通集，也就是区域内任意两点道路连通，可以取积分曲线。这就让人想到了同伦不变性，复变函数中的积分与路径...
不要再问我卷积了！看不懂找我要红包
卷积的困惑卷积这个概念，在复变函数与积分变换里面提到过，而在处理信号的时候应用广泛，在书里给出了定义与各种性质，...
回顾我的四年机加工生涯，发现没有一本书叫做【从入门到精通】
想在机加工行业混的好，大概分为以下几个阶段：首先是拥有良好的数学物理基础，学好微积分、线性代数、概率论和复变函数...
躁起来吧，科密们！
躁起来吧,科密们！ (文章和上面音乐更配哦）收到这则消息是在复变函数的课堂上，巨大的沉重感立刻将我从级数积分中抽...
变限积分函数的求导
一、定义设函数在区间上连续，设为区间上的一点，考察定积分如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分都...

复变函数积分

2017-1-13. 求积分 $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z^3}{z+3}\sin(\frac{1}{z})\mathrm dz$ ，积分路径为逆时针方向。

2017-2-13. 求积分 $\oint\limits_{|z|=2}\frac{z}{z+i}\sin(\frac{z+i}{z-i})\mathrm dz$ ，积分路径为逆时针方向。

2017-3-13. 求积分 $\oint\limits_{|z+\frac{1}{2}|=1}\frac{z^2}{1-z}\exp(\frac{1}{z+1})\mathrm dz$ ，积分路径为逆时针方向。

相关文章