12.有心力场中的运动

两个粒子的运动，可以化为单个粒子在有心力场中的运动，所以总是要考察有心力场中粒子的运动。

将两个粒子的哈密顿量经过巧妙的变换，变为了两个独立部分的和，对于波函数而言，就是将整体波函数变成了两个独立部分的波函数的乘积。于是，就将两个粒子的运动问题，变成了单个粒子在势能场中的运动了。

于是，由薛定谔方程，得到波函数的二阶微分方程，拉普拉斯算子采用球坐标中的形式，球坐标中的拉普拉斯算子的表达式，可以利用正交坐标系的性质，带入到张量分析中的公式，可以去求。感觉不太好算。

根据之前的内容，有心力场中的运动，角动量是守恒的，所以波函数可以分离变量，也就是径部和角部，角部就是球谐函数，由于角动量守恒，所以和之前的没什么区别。经过一些变换，可以得到径向函数的运动方程，这个方程非常重要。

波函数的径部，就是一端受限的一维运动，能级是非简并的，所以能量就可以区分不同的态，在加上角部的两个描述l，m。就构成了一组完全集，（E，l，m）。当这三个量确定了，系统的态就确定了，也就是说系统的波函数就知道了。因此系统的所有的态都可以通过这几个量来索引。为了方便描述，就对能级编号，0代表最低的能级，序号随能量增大而增大，这个序数称之为径量子数，对于l和m，本身就是整数值，所以不用再编号了，l称之为角量子数，m称之为磁量子数。这里就能解答高中化学中的一些疑问了，关于原子轨道的问题，像1s,2p,3d,4f,5g这种记号的来历，其实就是从这里出来的，角量子数l=0,1,2,3...，约定记为s,p,d,f...。所以，在那么早的时候，大家就已经在接触量子力学了，毕竟原子理论就是在这基础上建立的。