来自1994年的地标性考题：定义域对称的函数必定可以表示成一个奇

1994年理数全国卷题15

定义在 上的任意函数 都可表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和.

如果 ，那么 （ ）

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【解析】

我们先证明这个命题：定义在 上的任意函数 都可表示成一个奇函数和一个偶函数之和.

证明过程如下：

设 为上的奇函数， 为 上的偶函数；且

于是 ,

对于任意的 , 有：

在以上两个等式中， 和 表示函数的值，可以根据自变量的值和函数 的映射关系求出. 因此，可以将 视作已知量，而将 视作未知量。这样一来，以上两个等式就构成一个二元一次方程组.

二元一次方程组的求解，是初中级别的数学问题。容易解得：

因为 是偶函数而 是奇函数，所以

以上结果可作如下解释：对于任意的自变量值 , 函数 的函数值可以根据函数 的函数值求出。

分别代表自变量取值为 及其相反数时的函数 的函数值，

分别代表自变量取值为 及其相反数时的函数 的函数值，

分别代表自变量取值为 及其相反数时的函数 的函数值，

则根据函数 的函数值可以求出 的函数值，公式如下：

举个具体的例子，如果 , 可以根据函数 的映射规则求出两个函数值 , 然后计算得出函数 的函数值：

是自变量的一个具体值，换成其他具体值，以上求函数值的方法也是成立的。例如：

注意在上式中， .

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以上是准备工作；现在回到1994年的这个高考题。

走到这一步，实际上已经可以作出选择：选项C正确。为保险起见，我们再算一下偶函数 :

综上所述，选项C是正确选项.

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【提炼与提高】

单纯从备考的角度来说，这个二十几年前的高考题属于 “冷门题型” ；在最近十年的高考中已经没有这种题型，未来五年也不太可能出现。

但是，笔者仍然向自己的学生推荐这一考题。理由如下：

（1）抽象函数是高中数学的一大难点。难点中的一个关键点在于：符号 在不同的场合有不同的含义。有时代表一个函数，有时代表具体的函数值。这是初学都需要克服的一大障碍。研习本题有助于克服这一障碍。

（2）类似的， 代表一对相反数；若 为正则 为负，若 为负则 为正；二者还可能同时为 . 这点也要留意.

（3）高中阶段的学习是为大学的学习打基础。 「如果函数 的定义域是对称的，则该函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和. 」 这是一个重要命题，在大学阶段的数学、物理中都会用到该命题。如果能够流畅地解答1994年的这个高考题，这一命题也就记住了。掌握这个考题的解答，可能需要花费一、两个小时。但是，如果高中阶段不掌握，大学还是要花费差不多的时间学习。大学的时间是宝贵的，最好能够在高中阶段学习、掌握。

（4）总之，这是一个地标性考题。如果能够解答这个考题，表明你对函数的理解上了一个台阶。解答其他函数大题会更加轻松。

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