志·律历（十一）
元会
月食数据的形成，在于记载已经发生的月食现象。大约二十三次月偏食后出现月全食，再次月全食之间相隔一百三十五个月，用这两个数相除，得到五月二十三之二十一次月食。用这个数去除一岁月数，得到五百一十三分之五十五，这是一岁再次发生月食的概率，因此五百一十三年应当发生一千零八十一次月食。用五百一十三与蔀的岁数七十六相约，得到公约数十九，约余之后为是四与二十七。三数相乘，得到二千零五十二，这是五百一十三与七十六的最小公倍数，叫做蔀会。二千零五十二乘以二十，得到四万一千零四十，这是五百一十三与四千五百六十的最小公倍数，叫做元会。
元会，四万一千零四十；蔀会，二千零五十二；岁数，五百一十三；食数，一千零八十一；月数，一百三十五；食法，二十三。
推算入蔀术的方法是：用元法除上元积年数，去商数取其除不尽的余数，用纪法除此余数，据所得商数按天、地、人三纪的顺序从天纪算起，算外，即所入之纪。不满纪法的余数即入纪年数。以蔀法除此年数，据所得商数按二十蔀的顺序从甲子蔀算起，算外，即所入之蔀。不满蔀法的余数即入蔀年数，各按所入纪的岁名来命名，算上，即所求的年太岁干支所在。
推算月食所进入蔀会年次的方法是：用元会除上元积年数，去商数而取其除不尽之余数，以蔀会除此余数，然后用二十七乘所得商数，其乘积为积蔀数。积蔀数如在六十或者整倍数以上，应减去此数；用二十除其剩余之积蔀数，据所得商数从天纪算起，算外，即所入之纪。开始演算时不满蔀会数即是入蔀会之年数。各按所入纪的岁名来命名，算上，即所求年太岁干支所在。
推算天正的方法是：以一减入蔀年数，其差数乘以章月，其乘积除以章法，所得商数为积月数，除不尽之余数为闰余。闰余在十二以上（含十二），该岁就有闰月。
推算正朔日的方法是：以蔀日乘入蔀积月数，其乘积除以蔀月，所得商数为积日数，除不尽之余数为小余。以六十除积日数，去商数而以其除不尽的余数为大余。以干支配合大余来命名，从所入之蔀名算起，大余算尽之外，即前一年之天正十一月朔日。小余在四百四十一以上（含四百四十一），该月为大月。求次月朔，前月朔大小余数分别加大余二十九，小余四百九十九；如所得小余之和足以减蔀月，应在减去蔀月的同时，再加大余一；日期命名的方法像前面一样。
另一个算法是：以周天与闰余之乘积减大周与入蔀积年之乘积，所得差数除以蔀月，其商数为积日数，除不尽之余数为小余。剩下的步骤仍照前条所述，即可推得天正朔日。
推算二十四节气的方法是：用一减入蔀年数，其差数乘以日余，乘积除以中法，所得商数为大余，除不尽之余数为小余。大余数如在六十或者其整倍数以上，应减去此数，而以所余之数配合蔀名来给日期命名，算尽之外，即前一年的冬至日。
推算次气的方法是：据前气大小余数分别加大余十五，小余七。大余或应减去六十以及配合蔀首命名之法，均像前面条法论述的。按照这个方法求得出冬至的次节气，即小寒日。
推算闰月所在月份是：以闰余减章法，其差数乘以十二，其乘积除以章闰，除不尽之余数在四以上，则商数加一，据此近似之商数从前一年之十一月算起，算尽之外，即闰月所在月份。这一算法可能有误差，准确的闰月应以不含中气这一原则来确定。
推算弦、望日期的方法是：根据本月朔大小余之数，分别加大余七，小余三百五十九，如果所得小余和足以减蔀月，应在减去蔀月的同时，再加大余一，大余配合蔀首命名如前。按此法大小余数加一次，得上弦；加两次得到望；加三次，得到下弦；再加一次，得到下月朔。弦、望小余如在二百六十以下，可乘以一日刻数一百，然后除以蔀月。这样算得的是该弦、望在夜半之后的刻数。如果这一刻数少于其相近节气夜漏刻数的一半，该弦望日的命名方式可略加变通，改用“算上”法来确定。
推算没灭日的方法是：用一减入蔀年数，其差数乘以没数，其乘积除以日法，所得商数为积没，除不尽的余数为没余。以通法乘积没，其乘积除以没法，所得商数为大余，除不尽之余数为小余。大余数如在六十或者其整倍数以上应减去此数，再以其余数配合蔀名来命名，算尽之外，即前一年冬至前之没日。求后一没日，以前一没日大小余数为基础，加大余六十九，小余四；如小余之和足以减没法，应在减去没法的同时，再加大余一，然后按蔀名命名如前。如果该没日除大余之外，别无小余分数，则为灭日。
另一种算法是：用十五和冬至小余之乘积减通法，以没法除其差数，所得为自冬至到后一没日的积日数，从冬至日名算起，算外，即得后一没日。
推算合朔所在度数的方法是：以蔀日乘入蔀积月，其乘积在大周以上，应减去大周或其整倍数，以蔀月除其差数，所得商数为积度，除不尽之余数为余分。以积度及余分加斗宿二十一度二百三十五分，然后顺次减去自斗宿以下各宿之宿度值，直到所余积度不足以减一宿度，即得所求日月合朔所在之星宿及度数。求下一次合朔所在，就前次合朔所入宿度、分之数加度数二十九分数四百九十九；余分之和足以减蔀月，应减去蔀月之数，同时度数再加一；入宿算法如前。经过斗宿，应减去二百三十五分。
另一种方法是：用闰余与周天之乘积减大周，以蔀月除其差数，所得为度、分之数，加上斗宿二十一度，其余步骤参照前法，这样可以求得天正十一月合朔时日月所在的星度。
推算太阳所在度数的方法是：以蔀法乘入蔀积日，其乘积除以蔀日，去商数取其除不尽的余数，以蔀法除此余数，所得商数为积度；除不尽之余数为余分。积度及余分之数应加上斗宿二十一度，再加余分十九，然后顺次减去斗宿以下各宿的宿度值，直到不可减之宿，即得到夜半太阳所在宿度。
推算第二天的太阳宿度方法是：就前一天的宿度加一度。
推算一月后太阳宿度的方法是：大月加三十度，小月则加二十九度。经过斗宿，应减去十九分。
另一种算法是：用朔小余数减合朔时日月所在星宿度、分之数，即得朔日夜半太阳所在星宿、度分之数。这里仍然以一度为九百四十分，如果要把它换算为七十六分制，应将所得余分之数乘以十九分之二百三十五。
推算月亮所在宿度的方法是：用月周乘入蔀积日之数，用蔀日除其乘积，去商数而取其除不尽之余数；以蔀法除此余数，所得商数为积度，除不尽之余数为余分。用积度及余分之数加斗宿二十度十九分，然后顺次减去斗宿以下各宿宿度，至所不可减之宿，即得所求之日夜半月亮所在宿度。
推算第二天的月亮宿度是：依原宿度数加十三度二十八分，求出该月月亮宿度；大月依照原宿度数加三十五度六十一分；小月则加二十二度三十三分；分数之和在蔀法以上，应减蔀法之数，同时再加一度；经过斗宿，应减去十九分。如果在冬天各月的下旬推得月亮在张宿或在心宿，应在历日中注明，这是指在白昼漏刻尽后，到黑夜漏刻尽前发生这一情况而言的。
另一种算法是：用蔀法除朔小余，以所得商数减朔日夜半太阳所在度数，并以除不尽之余数减太阳所在度数之余分。其差数即朔日夜半月亮所在度、分之数。
推算天明时太阳进入星宿度、分数的方法是：用蔀法乘与所求日相近节气之夜漏刻数，用二百除其乘积，所得商数即从夜半到天明这一时段内太阳所运行之分数。用此分数与夜半时太阳所在星宿度、分之数相加，其和即天明时太阳所在度、分之数。
推算天昏时太阳所进入星宿度数的方法是：把从夜半到天明太阳所运行分数减蔀法，其差数即从夜半到天昏这一时段内太阳所运行之分数，以此分数与夜半时太阳所在星宿度、分之数相加，其和即天昏时太阳所在度、分之数。
推算天明时月亮进入的星宿度、分数的方法是：用月周乘与所求日相近节气之夜漏刻数，用二百除其乘积，所得商数为积分；以蔀法除积分，所得商数为积度，用积度及所余积分之数与夜半月亮所在星宿度、分之数相加，其和即天明时月亮所在星宿度、分之数。
推算天昏时月亮所进入的星宿度数的方法是：以天明时月亮运行之积分数减月周，以蔀法除其差数，所得商数即从夜半到天昏时月亮运行之积度数，以此数与夜半时月亮所在星宿度数相加，其和即天昏时月亮所在度数。
推算弦、望时太阳进入星宿度数的方法是：以七度三百五十九分加合朔时太阳所在星宿度、分，然后按顺序减去应减之宿度，即得上弦时太阳所进入之星宿度、分之数。
推算望、下弦时太阳所在的方法是：据上弦时太阳所在续加前述度、分之数，得望所在；再加一次，得到下弦所在。顺次减应减之宿度亦如前法。小分之和满四，得一大分；大分之和满蔀月之数，得一度。
推算弦、望时月亮进入星宿度数的方法是：用九十八度六百五十三分加合朔时月亮所在星宿度、分之数，然后顺次减去应减之宿度，即得上弦时月亮所进入之星宿度、分之数求望、推算下弦时月亮所在：据上弦时月亮所在续加前述度、分之数，得望所在，再加一次，得下弦所在，顺次减应减之宿度亦如前法。分数之和满蔀月之数，得到一度。
推算月食的方法是：用一减入蔀会年数，以食数乘其差数，再以岁数除其乘积，所得商数名为积食，除不尽之余数为食余。以月数乘积食，以食法除其乘积，所得商数名为积月，除不尽之余数为月余分。以章月除积月，去商数而以其除不尽之余数为入章月数。应当先从入章月数中扣除闰月之数，然后用十二除剩余之入章月数，去商数而取其除不尽之余数，以此余数配合月序从十一月算起，算尽之外，就是前一年十一月之前发生月食的月份。
推算入章闰月数的方法是：用章闰乘入章月数，以章月除其乘积，所得商数即入章闰月之数。除不尽余分如在二百二十四到二百三十一之间，则月食发生在闰月。闰月所在有时难以判断，根据朔日之后只有节气而无中气这一事实来加以确定。
推算下一次月食的方法是：就前食月次及月余分之数加五月十十分；月余分之和等于或大于法数十二三，应减去二十三，以所得一月加入月数，月次的命名办法如前。当月余分刚好减完时，月食发生在算上之月。
推算有月食月朔日的方法是：用二十九乘食积月之数，所得乘积为积日；又用四百九十九乘以积月，以蔀月除其乘积，以所得商数加入积日之数。用六十除积日总数，去商数而取其除不尽之余数，以所进入蔀会的第一蔀名配合积日余数命名，余数算尽之外，即前一年天正十一月之前有月食之月的朔日所在。
推算月食日的方法是：根据前面所得有食月朔日大小余数分别加大余十四，小余七百一十九，小余之和等于或大于蔀月，应减去蔀月之数；同时大余应再加一。大余仍照前法命名，即得月食之日。
推算下一个有月食月朔日及月食日的方法是：用大余二十七、小余六百一十五加前一个有月食之月朔日大小余数，可得下一个有月食之月朔日；以同数加前月食之日大小余数，可得下一个月食之日。如该月月余分数不足二十，则除加前数之外，还应再加大余二十九，小余四百九十九。月食日小余数应当换算为漏刻之数，以便分别昼夜。如果月食时刻出现在夜半之后，夜漏未尽之时，其日名的推算改以算上之法为准。
推算月食的另一种方法是：用岁数除上元以来积年数，去商数取其除不尽之余数。将此积年之余数换算为积月；用一百一十二乘以积月，以月数除其乘积，去商数而取其除不尽之余数；以食法除积月余数，所得商数即从天正十一月算到其后有月食之月的月数。
推算各种天象发生时辰的方法是：用十二乘其小余，从所得乘积之中先减去其相关法数的一半，得到一时，减后差数再除以法数，以所得之商数加前所得一时数配合时序从夜半子正算起，算尽之外，就是该天象发生的时辰。
推算各种天象发生时的上水漏刻数的方法是：用一百乘以其小余，用法数除其乘积，所得商数为夜半以后积刻之数；除不尽的余数乘以十之后仍除以法数，所得商数为不足一刻之积分数。应从积刻、积分数中先减去与该日相近节气夜漏刻的半数，剩余部分为进入昼漏上水以后的刻数；在过完昼漏刻数之后，剩余部分为夜漏上水刻数。如果按小余算得的积刻数少于夜漏刻的半数，应反过来以积刻数减夜漏刻的半数，以其差数为昨夜未尽之刻数。当弦、望时刻出现在后半夜时，日名按“算上”法确定。
月食推算
黄其军
2023年9月2日（古历癸卯年七月十八），摘自于《后汉书：文白对照/章惠康主编》北京：华夏出版社，ISBN 978-7-5080-6668-4）。
文中照片来源于网络，对作者的辛勤劳动表示衷心的感谢!
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