立体几何之目：2021年新高考数学全国卷X题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-02 22:55 被阅读0次

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2021年新高考数学全国卷X题20

分值：12分

如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中，平面 $ABD \perp$ 平面 $BCD$ ， $AB=AD$ ， $O$ 为 $BD$ 的中点.

（1）证明： $OA \perp CD$ ;

（2）若 $\triangle OCD$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $E$ 在棱 $AD$ 上， $DE=2EA$ ，且二面角 $E-BC-D$ 的大小为 $45°$ ，求

三棱锥 $A-BCD$ 的体积.

2021年新高考数学全国卷一

【解答问题1】

∵ $AB=AD$ ， $O$ 为 $BD$ 的中点.

∴ $OA \perp BD$

又∵ 平面 $ABD \perp$ 平面 $BCD$ ，

∴ $OA \perp$ 平面 $BCD$ ，

又∵ $CD \subset$ 平面 $BCD$ ，

∴ $OA \perp CD$ .

【解答问题2】

记 $OA, BE$ 交点为 $M$ , 作 $BC$ 中点 $N$ ，并连接 $MN,ON$ .

∵ $\triangle OCD$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，且 $O$ 为 $BD$ 的中点.

$OB=OC=OD$

∴ $\angle ACD=90°$

$BC=\sqrt{3}$

$S_{\triangle BOC} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\triangle AOB \cong \triangle AOC$

$\triangle MOB\cong\triangle MOC$

$MB=MC$

$MN \perp BC, ON \perp BC$

$\angle MNO$ 是二面角 $E-BC-D$ 的平面角

$\angle MNO=45°$

$OM=ON=\dfrac{1}{2}$

$V_{M-BOC} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle BOC} \cdot OM=\dfrac{\sqrt{3}}{24}$

$DE=2EA \Rightarrow$

$S_{\triangle BED}:S_{\triangle BEA}=2:1$

$S_{\triangle MED}:S_{\triangle MEA}=2:1$

$S_{\triangle BMD}:S_{\triangle BMA}=2:1$

$OB=OD \Rightarrow$

$S_{\triangle BMD}:S_{\triangle BMO}=2:1$

∴ $S_{\triangle BMA}=S_{\triangle BMO}$

∴ $MA=MO$

∴ $S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle BMO}$

∴ $V_{A-BCD} =4 V_{M-BOC} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

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