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三角之目：2021年新高考数学全国卷X题19

三角之目：2021年新高考数学全国卷X题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-29 12:47 被阅读0次

2021年新高考数学全国卷X题19

分值：12分

记 \triangle ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 b^2=ac ，点 D 在边 AC 上，BD \sin \angle ABC = a \sin C .
（1）证明：BD=b;
（2）若 AD=2DC，求 \cos \angle ABC.

【解答问题1：路线一】

b^2=ac \Rightarrow\; \sin^2 \angle ABC = \sin A \sin C

BD \sin \angle ABC = a \sin C = 2R \sin A \sin C

BD \sin \angle ABC = 2R \sin^2 \angle ABC

BD = 2R \sin \angle ABC = b. 证明完毕.

【解答问题1：路线二】

∵ BD \sin \angle ABC = a \sin C

∴ BD \cdot 2R\sin \angle ABC = a \cdot 2R\sin C

∴ BD \cdot b = a c

又∵ b^2=ac

∴ BD \cdot b = b^2

∴ BD=b. 证明完毕.

【分析问题2】

如上图所示，本题中有三个三角形：\triangle ABC, \triangle BDA, \triangle BDC.

\angle BDA, \angle BDC 两角互补；若记 \angle BDC=\theta, 则 \cos\angle BDA=-\cos\theta

在 \triangle BDA, \triangle BDC 中应用余弦定理，可以变量 \theta 与 a,c 两边长度的映射关系，根据已知条件 ac=b^2, 就可以得到一个方程；解这个方程，即可求出满足条件的 \cos\theta，进一步，可求出 a,c.

有了 a,c 长度，即可求出 \cos\angle ABC.

根据以上思路，制定解题方案如下：

（1）根据余弦定理，写出 a,c 两边与 \angle BDC 的关联；
（2）以 \angle BDC 为元，记作 \theta，根据已知条件 ac=b^2 列方程；
（3）解方程，求出 \cos\theta；
（4）求出 a,c；
（5）用余弦求出 \cos\angle ABC.

【解答问题2】

记 \angle BDC 为 \theta, 则

\cos \angle BDA = - \cos \theta

根据余弦定理，

a^2= BD^2 + DC^2 - 2 BD\cdot DC \cdot \cos\theta

=\dfrac{10}{9}b^2 - \dfrac{2}{3}b^2\cos\theta

c^2=BD^2+AD^2-2 BD \cdot AD \cdot (-\cos\theta)

=\dfrac{13}{9}b^2 + \dfrac{4}{3}b^2 \cos\theta

ac=b^2 \Rightarrow

(\dfrac{10}{9}-\dfrac{2}{3}\cos\theta)(\dfrac{13}{9}+\dfrac{4}{3}\cos\theta)=1

(12\cos\theta+7)(6\cos\theta-7)=0

∵ \cos\theta \in (-1,1)

∴ (6\cos\theta-7) \in (-13,-1)

∴ \cos\theta = -\dfrac{7}{12}

a^2=\dfrac{3}{2}b^2

c^2=\dfrac{2}{3}b^2

\cos\angle ABC = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{7}{12}

【提炼与提高】

方程与函数是高中数学的重要工具，也是高考数学重器。在最近十年的高考数学中，有多个三角大题用到了相似的思想。参见：

2015年理数全国卷B题17

如果把几个题放在一起，可以看出：高考的难度在缓慢的提升。在2015年的三角大题中，解方程即可得出最终结果；在本题中，解方程后还需要再走两步，才能得出最终结果。

尽管步骤变多了，但解题的基本思想是一致的。面对这类问题，一定要有信心：所谓难题，不过就是一系列基础题的综合而已。

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