三角之目：2021年新高考数学全国卷X题19

三角之目：2021年新高考数学全国卷X题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-29 12:47 被阅读0次

2021年新高考数学全国卷X题19

分值：12分

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ . 已知 $b^2=ac$ ，点 $D$ 在边 $AC$ 上， $BD \sin \angle ABC = a \sin C$ .
（1）证明： $BD=b$ ;
（2）若 $AD=2DC$ ，求 $\cos \angle ABC$ .

【解答问题1：路线一】

$b^2=ac \Rightarrow\; \sin^2 \angle ABC = \sin A \sin C$

$BD \sin \angle ABC = a \sin C = 2R \sin A \sin C$

$BD \sin \angle ABC = 2R \sin^2 \angle ABC$

$BD = 2R \sin \angle ABC = b$ . 证明完毕.

【解答问题1：路线二】

∵ $BD \sin \angle ABC = a \sin C$

∴ $BD \cdot 2R\sin \angle ABC = a \cdot 2R\sin C$

∴ $BD \cdot b = a c$

又∵ $b^2=ac$

∴ $BD \cdot b = b^2$

∴ $BD=b$ . 证明完毕.

【分析问题2】

如上图所示，本题中有三个三角形： $\triangle ABC, \triangle BDA, \triangle BDC$ .

$\angle BDA, \angle BDC$ 两角互补；若记 $\angle BDC=\theta$ , 则 $\cos\angle BDA=-\cos\theta$

在 $\triangle BDA, \triangle BDC$ 中应用余弦定理，可以变量 $\theta$ 与 $a,c$ 两边长度的映射关系，根据已知条件 $ac=b^2$ , 就可以得到一个方程；解这个方程，即可求出满足条件的 $\cos\theta$ ，进一步，可求出 $a,c$ .

有了 $a,c$ 长度，即可求出 $\cos\angle ABC$ .

根据以上思路，制定解题方案如下：

（1）根据余弦定理，写出 $a,c$ 两边与 $\angle BDC$ 的关联；
（2）以 $\angle BDC$ 为元，记作 $\theta$ ，根据已知条件 $ac=b^2$ 列方程；
（3）解方程，求出 $\cos\theta$ ；
（4）求出 $a,c$ ；
（5）用余弦求出 $\cos\angle ABC$ .

【解答问题2】

记 $\angle BDC$ 为 $\theta$ , 则

$\cos \angle BDA = - \cos \theta$

根据余弦定理，

$a^2= BD^2 + DC^2 - 2 BD\cdot DC \cdot \cos\theta$

$=\dfrac{10}{9}b^2 - \dfrac{2}{3}b^2\cos\theta$

$c^2=BD^2+AD^2-2 BD \cdot AD \cdot (-\cos\theta)$

$=\dfrac{13}{9}b^2 + \dfrac{4}{3}b^2 \cos\theta$

$ac=b^2 \Rightarrow$

$(\dfrac{10}{9}-\dfrac{2}{3}\cos\theta)(\dfrac{13}{9}+\dfrac{4}{3}\cos\theta)=1$

$(12\cos\theta+7)(6\cos\theta-7)=0$

∵ $\cos\theta \in (-1,1)$

∴ $(6\cos\theta-7) \in (-13,-1)$

∴ $\cos\theta = -\dfrac{7}{12}$

$a^2=\dfrac{3}{2}b^2$

$c^2=\dfrac{2}{3}b^2$

$\cos\angle ABC = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{7}{12}$

【提炼与提高】

方程与函数是高中数学的重要工具，也是高考数学重器。在最近十年的高考数学中，有多个三角大题用到了相似的思想。参见：

2015年理数全国卷B题17

如果把几个题放在一起，可以看出：高考的难度在缓慢的提升。在2015年的三角大题中，解方程即可得出最终结果；在本题中，解方程后还需要再走两步，才能得出最终结果。

尽管步骤变多了，但解题的基本思想是一致的。面对这类问题，一定要有信心：所谓难题，不过就是一系列基础题的综合而已。

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