美文网首页高中数学纲目
四面体：2017年理数全国卷C题19

四面体：2017年理数全国卷C题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-01 23:52 被阅读0次

四面体：2017年理数全国卷C题19 （12 分）

如图，四面体 ABCD 中，\triangle ABC 是正三角形，\triangle ACD 是直角三角形，\angle ABD=\angle CBD, AB=BD.

（1）证明∶平面 ACD \perp 平面 ABC;

（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值.

2017年理科数学全国卷C

【解答问题1】

作 AC 中点 M, 并连接 MD, MB.

因为 \triangle ABC 是正三角形，AB=BD, 所以 AB=BD=BC,

又因为 \angle ABD=\angle CBD, 所以 \triangle ABD \cong \triangle CBD, DA=DC

所以 \triangle ACD 是等腰直角三角形，所以 DM=MA=MC

又因为点 M 是 AC 中点，所以 DM \perp AC, BM \perp AC （三线合一）

所以 \angle DMB 是二面角 D-AC-B 的平面角.

因为 DM=MA, AB=BD, MB=MB, 所以 \triangle DMB \cong \triangle AMB, 所以 \angle DMB = \angle AMB=90°

所以 平面 ACD \perp 平面 ABC. 证明完毕.

【解答问题2】

连接 ME, 记 ME 中点为 N, 并连接 DN.

因为 V_{A-ECD} = V_{A-ECB}, 所以 S_{ECD}=S_{ECB}, ED=EB.

又因为 \angle DMB = 90°, 所以 EM=ED=EB

根据前节结论可知：\triangle DMB \cong \triangle AMB, \angle BDM=60°, 而 EM=ED, 所以 \triangle EMD 是正三角形，

又因为点 N 是 ME 中点，所以 DN \perp ME

根据前节结论， AC \perp MD, AC \perp MB, 所以 AC \perp 平面 MDB, 所以 AC \perp DN

因为 AC \perp DN, DN \perp ME, 所以 DN \perp 平面 ACE, \triangle NAE 是 \triangle DAE 在平面 ACE 内的投影.

令 MA=1, 则 AE=AD=\sqrt{2}, DE=MD=ME=1

S_{\triangle ADE} = \dfrac {\sqrt{7}}{4}

S_{\triangle NAE}= \dfrac {1}{2} S_{\triangle MAE} = \dfrac {1}{4}

二面角 D-AE-C 的余弦值 = \dfrac {S_{\triangle NAE}} {S_{\triangle ADE}} = \dfrac {\sqrt{7}}{7}

相关文章

网友评论

    本文标题：四面体：2017年理数全国卷C题19

    本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/amtxzltx.html

    延伸阅读

    深度阅读

    • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

    栏目导航

    热点阅读

    高中数学纲目

    关于我们|服务条款|联系我们|四面体：2017年理数全国卷C题19|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

    提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

    Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

    备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

    本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

    所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！