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函数与导数大题：2017年理数全国卷C题21

函数与导数大题：2017年理数全国卷C题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-25 22:41 被阅读0次

2017年理数全国卷C题21

已知函数f(x)=x-1-a \ln x .

（1）若 f(x) \geqslant 0 ，求 a 的值;

（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，(1+\dfrac{1}{2})(1+ \dfrac{1}{2^2}) \dots (1+ \dfrac{1}{2^n}) \lt m，求 m 的最小值.

【解答问题1】

函数 f(x) 的定义域为 (0,+\infty)

f(1)=0

f'(x)=1-\dfrac{a}{x}

若 a=1, 则

x \in (1,+\infty), f'(x) \gt 0, f(x) 单调递增，f(x) \gt 0;

x \in (0,1), f'(x) \lt 0, f(x) 单调递减，f(x) \gt 0;

若 a \gt 1, 则

a \in (1, a), f'(x) \lt 0, f(x) 单调递减，f(x) \lt 0;

若 0 \lt a \lt 1, 则

x \in (a,1), f'(x) \gt 0, f(x) 单调递增，f(x) \lt 0;

若 a \leqslant 0, 则

x \in (0,1), f'(x) \gt 0, f(x) 单调递增，f(x) \lt 0;

综上所述，a=0.

【解答问题2】

根据前节结论有：\ln(x) \leqslant x-1

\ln(1+\dfrac{1}{2}) \leqslant \dfrac{1}{2}

\ln(1+\dfrac{1}{2^2}) \leqslant \dfrac{1}{2^2}

\cdots

\ln(1+\dfrac{1}{2^n}) \leqslant \dfrac{1}{2^n}

\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = 1-\dfrac{1}{2^n}

\ln(1+\dfrac{1}{2}) + \ln(1+\dfrac{1}{2^2}) + \cdots + \ln(1+\dfrac{1}{2^n}) \leqslant 1- \dfrac{1}{2^n}

(1+\dfrac{1}{2}) (1+\dfrac{1}{2^2}) (1+\dfrac{1}{2^n}) \lt e

另一方面，对于任意的 d \gt 0, 若 n \gt \log_2 \dfrac{1}{d}, 则 \dfrac{1}{2^n} \lt d,

1-\dfrac{1}{2^n} \gt 1-d

综上所述， m 的最小值为 e.

【提炼与提高】

应用第1问的结论解答第2问，是高考中常用的考查方法.

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