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对数函数：2014年文数全国卷A题21

对数函数：2014年文数全国卷A题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-30 14:09 被阅读0次

对数函数：2014年文数全国卷A题21

设函数 f(x)= a \ln x+ \dfrac {1-a}{2} x^{2} - b x(a \neq 1)，曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线斜率为 0.

（Ⅰ）求 b;

（Ⅱ）若存在 x_0 \geqslant 1 ，使得 f(x_0) \lt \dfrac{a}{a-1}，求 a 的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

f'(x)= \dfrac {a}{x} + (1-a)x -b

∵ f'(1)=a+1-a-b=1-b=0

∴ b=1

【解答问题Ⅱ】

根据前节讨论可知：

f(x)= a \ln x+ \dfrac {1-a}{2} x^{2} - x

f(1) = -\dfrac {1}{2} - \dfrac {a}{2}

f'(x)= \dfrac {a}{x} + (1-a)x -1

f''(x) = - \dfrac {a}{x^2} + (1-a)

a 的取值范围可分以下几种情况讨论：a \lt 0; a=0; 0 \lt a \leqslant \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \lt a \lt 1 ; a \gt 1.

(1) 若 a=0, f(x) = \dfrac {1}{2} x^2 -x = \dfrac {1}{2} x (x-2)

\dfrac {a}{a-1} = 0

所以，当 x \in (1,2), \; f(x) \lt \dfrac {a}{a-1}.

∴ a=0 满足要求.

(2) 若 a \gt 1, \; \dfrac {a}{a-1} \gt 0,

a \ln x \lt a(x-1)

f(x) \lt a(x-1) + \dfrac {1-a}{2} x^{2} - x

g(x) = \dfrac {1-a}{2} x^{2} - x +a(x-1)

因为 \dfrac {1-a} {2} \lt 0, 所以，对于任意的 \dfrac {a}{a-1} , 存在 x_0 \gt 0, 使得 g(x_0) \lt \dfrac {a}{a-1}

也即：f(x_0) \lt \dfrac {a}{a-1}

∴ a \gt 1 满足要求.

(3) 若 a \lt 0, -a \gt 0, f''(x) = - \dfrac {a}{x^2} + (1-a) \gt 0

∴ f'(x) 在 (1,+\infty) 上单调递增；

f'(1)=0, 所以，f'(x) \gt 0

∴ 在 [1,+\infty) 上 f(x)单调递增，f(1) 是最小值；

\left\{ \begin{array}\\ a \lt 0 \\ (-\dfrac {1}{2} - \dfrac {a}{2}) - \dfrac {a} {a-1} \lt 0 \end{array} \right.

解得：a \lt -1-\sqrt{2}

f'(x)= \dfrac {(1-a)x^2-x+a}{x} = \dfrac {(x-1)[(1-a)x+a]} {x}

f'(x) 有两个零点：x_1=1,\; x_2 = \dfrac {a}{1-a}

(4) 若 0 \lt a \leqslant \dfrac {1}{2}, 则 0 \lt \dfrac {a}{1-a} \leqslant 1

在 [1, +\infty) 区间内有 f'(x) \geqslant 0, f(1) 就是 [1, +\infty) 内的最小值.

\left\{ \begin{array}\\ 0 \lt a \lt \dfrac {1}{2} \\ (-\dfrac {1}{2} - \dfrac {a}{2}) - \dfrac {a} {a-1} \lt 0 \end{array} \right.

解集为 (0, \sqrt{2}-1).

(5) 若 \dfrac {1}{2} \lt a \lt 1, \dfrac {a}{1-a} \gt 1

f'(\dfrac {a}{1-a})=0

[1,+\infty) 区间的最小值为 f(\dfrac {a}{1-a}), 依题意有：

f(\dfrac {a}{1-a}) \lt \dfrac {a}{1-a}

a \ln (\dfrac {a}{1-a}) + \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot \dfrac {a}{1-a} \lt 0

∵ a \gt 0, ∴ \ln (\dfrac {a}{1-a}) + \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {a}{1-a} \lt 0

∵ \dfrac {a}{1-a} \gt 1, ∴ \ln (\dfrac {a}{1-a}) \gt 0

解集为空.

综上所述， a 的取值范围如下：(-\infty, -1-\sqrt{2}) \cup [0, \sqrt{2}-1) \cup (1,+\infty)

【提炼与提高】

本题是一个优秀的高考试题. 只要掌握基础知识和基本技能，就可以拿到几分，但想要拿全分却并不容易.

困难主要在两个方面，一是分类讨论，要正确的划分几类情况并不容易；二是针对不同的范围，需要综合多种方法来讨论.

不少同学可能有这种体会：拆开来看，每一段都能看懂，并不高深；自己动手，想要完整地写出来，就是一件困难的事。

这就是能力的体现。不仅要多做题，而且更重要的是：要多思考，多总结。

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