对数函数：2015年文数全国卷B题21

对数函数：2015年文数全国卷B题21

已知函数 .

（Ⅰ）讨论 的单调性;

（Ⅱ）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.

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【解答问题Ⅰ】

函数 的定义域为 .

若 ，则在 内 .

函数在定义域内单调递增。

若 ，则

当 ，，函数单调递增；

当 ，，函数单调递减；

当 ，函数取得最大值 ；

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【解答问题Ⅱ】

根据问题Ⅰ的讨论可得：参数 必须满足两项要求：

且

即：

令

函数 的定义域为 , 在定义域内单调递增；

所以， 的取值范围是 .

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【提炼与提高】

正确解答本题需要掌握以下知识：

（1）用导函数分析函数的单调性，并求函数的极值和最值；

（2）对数函数的导函数：

（3）

这是一个入门级的高考题，可以在学习导数的过程中用作同步补充习题。

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