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对数函数：2015年文数全国卷B题21

对数函数：2015年文数全国卷B题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-21 21:02 被阅读0次

对数函数：2015年文数全国卷B题21

已知函数 f(x)=\ln x+a(1-x).

（Ⅰ）讨论 f(x) 的单调性;

（Ⅱ）当 f(x) 有最大值，且最大值大于 2a-2 时，求 a 的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

函数 f(x) 的定义域为 (0,+\infty).

f'(x) = \dfrac {1}{x} -a

若 a \leqslant 0，则在 (0,+\infty) 内 f'(x) \gt 0.

函数在定义域内单调递增。

若 a \gt 0，则 f'( \dfrac {1}{a}) =0

当 0 \lt x \lt \dfrac {1}{a}，f'(x) \gt 0，函数单调递增；

当 x \gt \dfrac {1}{a}，f'(x) \lt 0，函数单调递减；

当 x = \dfrac {1}{a}，函数取得最大值 f_{max} = \ln \dfrac {1}{a} + a -1；

【解答问题Ⅱ】

根据问题Ⅰ的讨论可得：参数 a 必须满足两项要求：

a \gt 0 且 a-1 - \ln a \gt 2a-2

即：

\left\{ \begin{array}\\ a \gt 0 \\ a-1 + \ln a \lt 0 \end{array} \right.

令 g(a)=a-1 + \ln a

函数 g(a) 的定义域为 (0,+\infty), 在定义域内单调递增；

g(1)=0

所以， a 的取值范围是 (0,1).

【提炼与提高】

正确解答本题需要掌握以下知识：

（1）用导函数分析函数的单调性，并求函数的极值和最值；

（2）对数函数的导函数：\boxed {(\ln x)' = \dfrac {1}{x} }

（3）\boxed{ \ln 1 = 0}

这是一个入门级的高考题，可以在学习导数的过程中用作同步补充习题。

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