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解析几何之目：2016年文数全国卷A题20

解析几何之目：2016年文数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-22 16:44 被阅读0次

圆锥曲线综合：2016年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=t(t \ne 0) 交 y 轴于点 M，交抛物线 C:y^2=2px(p>0) 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.

（I）求 \dfrac{|OH|}{|ON|};
（Ⅱ）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由.

【解答问题I】

依题意可知：点 M 的坐标为 M(0,t)

点 P 的坐标为 P(\dfrac{t^2}{2p}, t)

点 N 与 M 关于点 P 对称，所以 x_{_N} = 2x_{_P} - x_{_M} =\dfrac{t^2}{p}, y_{_N} = 2y_{_P} - y_{_M} =t

直线 ON 方程为：y=\dfrac{p}{t} x

点 H 为直线 ON 与抛物线的交点，满足以下方程：

\left\{ \begin{array} \\ y^2= 2px \\ x= \dfrac{t}{p} y \\ \end{array} \right.

解得点坐标为 H(\dfrac{2t^2}{p}, 2t)

所以 \dfrac{|OH|}{|ON|}=2.

【解答问题Ⅱ】

k_{_MN}=\dfrac{y_{_H}-y_{_M}}{x_{_H}-x_{_M}}=\dfrac{p}{2t}

直线 MH 的方程为：y=\dfrac{p}{2t}x+t

直线 MH 与 C 的公共点满足如下方程组：

\left\{ \begin{array} \\ y^2= 2px \\ y=\dfrac{p}{2t}x+t \end{array} \right.

消元后得：y^2-4ty+4t^2=0

(y-2t)^2=0

当且仅当 y=2t 时，方程成立。所以，除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点.

【提炼与提高】

本题难度较低，适合用作抛物线部分的补充习题。

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