解析几何之目：2016年文数全国卷A题20

解析几何之目：2016年文数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-22 16:44 被阅读0次

圆锥曲线综合：2016年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:y=t(t \ne 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$ ， $M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$ ，连接 $ON$ 并延长交 $C$ 于点 $H$ .

（I）求 $\dfrac{|OH|}{|ON|}$ ;
（Ⅱ）除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与 $C$ 是否有其他公共点？说明理由.

【解答问题I】

依题意可知：点 $M$ 的坐标为 $M(0,t)$

点 $P$ 的坐标为 $P(\dfrac{t^2}{2p}, t)$

点 $N$ 与 $M$ 关于点 $P$ 对称，所以 $x_{_N} = 2x_{_P} - x_{_M} =\dfrac{t^2}{p}$ , $y_{_N} = 2y_{_P} - y_{_M} =t$

直线 $ON$ 方程为： $y=\dfrac{p}{t} x$

点 $H$ 为直线 $ON$ 与抛物线的交点，满足以下方程：

$\left\{ \begin{array} \\ y^2= 2px \\ x= \dfrac{t}{p} y \\ \end{array} \right.$

解得点坐标为 $H(\dfrac{2t^2}{p}, 2t)$

所以 $\dfrac{|OH|}{|ON|}=2$ .

【解答问题Ⅱ】

$k_{_MN}=\dfrac{y_{_H}-y_{_M}}{x_{_H}-x_{_M}}=\dfrac{p}{2t}$

直线 $MH$ 的方程为： $y=\dfrac{p}{2t}x+t$

直线 $MH$ 与 $C$ 的公共点满足如下方程组：

$\left\{ \begin{array} \\ y^2= 2px \\ y=\dfrac{p}{2t}x+t \end{array} \right.$

消元后得： $y^2-4ty+4t^2=0$

$(y-2t)^2=0$

当且仅当 $y=2t$ 时，方程成立。所以，除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与 $C$ 没有其他公共点.

【提炼与提高】

本题难度较低，适合用作抛物线部分的补充习题。

相关文章

网友评论

高中数学纲目

本文标题：解析几何之目：2016年文数全国卷A题20

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/pioegltx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

高中数学纲目

热点阅读

高中数学纲目

关于我们|服务条款|联系我们|解析几何之目：2016年文数全国卷A题20|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！