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抛解析几何之目~物线和圆：2012年文数全国卷题20（文理同题）

抛解析几何之目~物线和圆：2012年文数全国卷题20（文理同题）

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-17 10:07 被阅读0次

抛物线和圆：2012年文数全国卷题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）
设抛物线 C:x^2=2py(p>0) 的焦点为 F，准线为 l，A为C上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点.
（I）若\angle BFD=90°，\triangle ABD 的面积为 4 \sqrt{2}，求 p 的值及圆 F 的方程；
（Ⅱ）若 A,B,F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m,n 距离的比值.

【解答问题I】

因为 A,B,D 三点在同一个圆上，所以 |FA|=|FB|=|FD|=R

因为 A 点在抛物线上，所以 A 点到准线的距离 h=|FA|=R

因为 \angle BFD=90°, |FB|=|FD|, 所以 \triangle FBD 是等腰直角三角形，|BD|=\sqrt{2}|FB|, |FB|=\sqrt{2}p

S_{\triangle ABD}= \dfrac{1}{2} |BD| \cdot h = \dfrac{\sqrt{2}}{2} R^2 = 4\sqrt{2}

R=2\sqrt{2}

p=2

圆 F 的方程为：x^2+(y-1)^2=8

【解答问题Ⅱ】


因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 是圆 F 的直径. 直径所对的圆周角为直角，所以 \angle ADB=90°.

又因为点 A 在抛物线上，|AD|=|FA|, 所以 \angle ABD=30°, AB 的斜率为 k=\dfrac{1} {\sqrt{3}}.

直线 m 的方程为： y= \dfrac{1} {\sqrt{3}} x + \dfrac{p}{2}

直线 n 与 m 平行，其方程可设为：y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x + b

代入抛物线方程，可得：

x^2- 2p \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} x - 2p \cdot b = 0

因为 n 与 C 只有一个公共点，所以

\Delta= 2p \cdot 2p \cdot \dfrac{1}{3} + 2p \cdot 4 \cdot b =0

b=-\dfrac{1}{6}p

直线 n 的方程为：y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x -\dfrac{1}{6}p

直线 m 的方程：\dfrac{1}{\sqrt{3}} x - y + \dfrac{p}{2} =0

直线 n 的方程：\dfrac{1}{\sqrt{3}} x -y -\dfrac{1}{6}p =0

坐标原点到 m 距离为： d_m = \dfrac{\dfrac{p}{2}}{\sqrt{\dfrac{4}{3}}}; 到 n 距离为：d_n = \dfrac{\dfrac{p}{6}}{\sqrt{\dfrac{4}{3}}} .

d_m : d_n = 3:1

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