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换个姿势学数学

还剩下一个初等函数没有谈，这个函数就是“角函数”。

在数学领域中，可能没有其他分支学科能像三角学一样始终占据着中心位置。—— 赫伯特

角和圆

➣角代表了什么？

在纸上随便画出个角，很容易就发现角是由两条射线确定的，或者说是由一条射线转动形成的。转动的幅度就是角度。

射线转动形成角∠

➣你有没有想起一个几何图形？

圆是怎么定义的呢？

线段转 1 圈，轨迹就是圆。

线段转动形成圆○

角和圆关系很大，都是转动形成的，只不过形成圆的线长度是固定的；形成角，只要是线就可以。

➣圆和角有什么关系呢？

圆是角的特殊情况，增加了二个限制条件：

1. 转动主体是线段，而不是射线。也就是说，确定了长度。
2. 转动幅度有限制，当转回原点时停止，也就是转了一圈。

➣第 1 个限制会造成什么情况？

就会造成转动的过程形成曲线轨迹。

但如果没有第 2 个限制的话(转一圈)，依然会形成轨迹，这种轨迹 ⌒ 是圆的一部分，叫“弧”。

并且很容易就会想到“弧”和角是对应的，“弧”是在角上增加距离限制产生的，可以说只不过是把角这个发散的形状收敛了。

➣第 2 个限制说明了什么问题？

如果从静止角度来看，平面上最大的角就是圆。所以，要度量角就会把圆平均分割作为单位。

习惯上把“圆”这种特殊的角叫做“周角”。

➣怎么样度量角的？

最常见的单位就是“度”，在右上角有一个小圆圈 ° 。把一个周角等分 360 分，其中的每一份就叫做 1° 。

其实仔细想一下就觉得很奇怪，因为其他公制单位都不是 360 进制的，唯独角度是 360 进制。

这到底是怎么回事呢？

具体的缘由已不可考，但可以知道的是这种表示方法是古巴比伦人最先使用的，他们的计量进制正好是 60 进制，也许与此有关吧。

还有另一个单位与之有关，那就是“分”和“秒”了，他们也是 60 进制。

360 并没有什么特别的含义，只是一种习惯而已。

虽然在国际单位制中， 60 进制已被废弃，但它还遗留在日常生活中，即便在公制发源地法国，时间和角度依然在采用这种古老的进制。

东西各180λ的经度

➣弧度是怎么出现的？有什么好处呢？

在数学和物理中，我们最常用的其实是弧度而不是角度；国际单位制中就是用的弧度(rad)。

➣为什么要采用弧度呢？有什么优点呢？

弧是角限制距离形成的，几乎就是一回事。

弧是线，所以其长度可以用公制度量，所以就直接用单位圆()的弧长来描述角度。

这和国际单位兼容得很好，在弧度制下，公式变得非常简洁，所以弧度制这才是数学和科学中最主流的。

比如，用弧度描述半径为 r 的圆的周长 s 就是：，因为弧度 θ 就是单位圆的弧长，我们要描述的是半径为 r 的圆，自然就是 r × θ ；如果用角度来描述就麻烦多了， 。

➣为什么会这么麻烦呢？

单位圆的周长是，所以，1 弧度就是 ，故 。

弧就是圆的一部分，所以在描述最基础的图形之一——圆的时候，就非常简洁；而用角度就占不到任何优势了。

弦

不过就算是弧度制，想知道角的具体度数也是非常难的。如果角度很小，就画在一张纸上，那可以简单的用尺子量一下。

圆形尺子

但如果要建造一个建筑物，怎么样才能保证墙壁的倾斜角度是一致的呢？

建筑物

尺度稍微放大一点，之前测量角度的方法就不灵了，所以我们急需一个更简单的角度测量和比较。

➣那为什么不直接测量弧长呢？

因为弧是一个曲线，曲线的长度并不好测量。

既然是这样，我们很自然的就会想到，弯的不好了，那我们可以量直的呀。

用距离表示旋转的灵感

这个想法如此自然，以至于世界各地的古文明几乎都会想到弦这个概念。

我们中国人用弓弦来命名这条弦；西方人则用琴弦(Chord)。

弦长

➣怎么通过弦长得知角度？

角度的变化和弧线的长度变化是对应的，它们都是旋转的结果，是成比例的，所以他们之间的关系也就是正比例函数(一次函数)：。如果半径确定，那么角度和弦长就一一对应。

但是线和他们并不是一伙的，线属于延长，角属于旋转，所以长度的增加和角度的增加并没有一个简单的比例。

延长和旋转的关系难以琢磨

定量的描述并不容易，不过定性就简单多了。

在半径确定的情况下，如果两个弦长一样的，角也是一样的；或者说通过半径和弦长(两个线段)的比值[2]，就可以定性的判断角是否相等。

弦长随角度变化

金字塔中的原始三角学

仔细看看金字塔的图，你会发现他居然是一个非常完美的正四棱锥，对于 4000年前的人来说，在施工中保持墙壁倾角的统一，似乎是一件不怎么容易的事情，他们到底是如何做到的呢？

有 4000 年历史的金字塔身上有很多谜团，不过幸运的是这个问题，我们已经知道了答案。

古埃及金字塔

➣金字塔的秘密是如何被揭开的呢？

因为发现了一本古埃及的数学教科书，而最后一个问题又和数学紧密相关，这本书就是《莱因德纸草书 》，是已知年代最久远，内容最广泛的数学文献，第56题到第60题都是关于金字塔的内容。[1]

莱因德纸草书 第65题

金字塔高 250 腕尺，底边长 360 腕尺，它的“塞克特”是多少？

➣“塞克特”是什么意思？

从后面的解答来看，“塞克特”是金字塔 高度 h 与 边长的一半 ，的比值。知道了这两条线段的长度，也就确定了倾角 θ 。

塞克特

➣那么具体是如何操作的呢？

之所以不通过测量斜边，而是通过测量高度和底边长度来比较倾角，是因为在施工中后面的两个量是容易得到的。

仔细看金字塔的图篇，会发现其表面并不是光滑的，而是台阶状的。每当施工出一个台阶之后，就会知道这个台阶的高度 Δh ，从上面垂下绳子，就能测量 Δh 对应的底边长度 Δa ，从而计算出“塞克特”，保证这个值和预期的一致，也就保证了施工的质量。

建造金字塔时保证倾角相等，就是通过两条线段来测量推算角度的过程。

古埃及人用三角学建造金字塔，中国人则用它计时。

故宫中的日晷

日晷所要测量的是太阳与地平线的夹角，已知日晷“规”的长度，再测其影子的长度，太阳的夹角知道了，背后对应的时间也就知道了。

原始的三角学不仅让金字塔得以施工，还能够让后世的法老知道金字塔到底有多高。

泰勒斯测量金字塔高度

测量金字塔高度的过程，就是通过角度和一条线段的长度，来推算另一条线段长度的过程。

思考题

➣什么还和旋转有关呢？

我想起了数学中曾经的“幽灵”。不知道你想起了什么，可以在下面留言说一下。

注释

[1] 其实最初的时候，人们并不知道上面的文字代表什么，因为埃及的象形文字早就已经失传了，没有人能够读懂。用文字破译之后，大量的埃及文献才得以被翻译。象形文字的破译又是一段传奇的故事，是托马斯 · 杨、商博良和罗塞塔石碑之间的故事。

[2] 任何两条线段都可以看成是圆的半径 r 和弦 s ，半径确定圆的大小后，弦决定就决定旋转角度。

参考资料

1. Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8.

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读 思考 践行