基于课本题：2018年文数全国卷C题19

基于课本题：2018年文数全国卷C题19

分值：12分

如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.

（1）证明∶平面 平面 ;

（2）在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ? 说明理由.

2018年文数全国卷C

---

【解答问题1】

∵ 是矩形，∴

又∵ 平面 平面 ，

∴ 平面 ，

又∵ 平面 ，

∴

∵ 是直径，而点 在半圆弧上，

∴

∵ ,

∴ 平面

又∵ 平面 ,

∴ 平面 平面 .

---

【解答问题2】

连接 , 并记 交点为 .

取 中点 , 并连接 .

∵ 是矩形，∴ 点 是 的中点，

∵ 是 中点,

∴ .

∵ 平面 ,

∴ 平面 .

所以，满足条件的点 存在.

---

【提炼与提高】

在问题1的解答中，首先由平面几何知识推出两组线线垂直；然后，由面面垂直推出线面垂直，由线面垂直推出线线垂直，再推出新的线面垂直，最后推出面面垂直.

问题2的解答，利用中位线的性质推出线线平行，再推出线面平行.

在立体几何问题中，应用中位线性质论证平行，是很常用的操作.

---

【回归课本】

人教版的《高中数学》中有一个例题，与这个考题关系密切，可供参考。详见：《高中数学第二册》「8.6.3 平面与平面垂直」

---