“上帝是存在的，因为数学是自洽的。魔鬼也是存在的，因为我们不能证明数学是自洽的。”
——据说出自外尔
在日常生活中，我们不时会发现原有的观点是自相矛盾的，尤其是被现实狠狠地打脸以后。
让我们试想一下，如果常被我们当做推理的工具和严谨的标杆的数学是自相矛盾的——
这便是华裔科幻名作家特德·姜（姜峯楠）小说《除以零》中的情节了。
对数学史有兴趣的读者（或者说：不觉得《除以零》这小说味同嚼蜡无聊透顶的人）首先会想到的大约会是又一次数学危机和各种奇怪的思潮盛行，极端点科幻点的人大概会想到《除以零》本身或者大刘的《朝闻道》里把莫名其妙的玻璃心粉饰成理想主义，强行让学者寻死的恶心情节。
其实，我们确实不能保证数学里没有自相矛盾。
为什么？
我们无法证明策梅洛-弗兰克尔集合论+选择公理（简称ZFC）是自洽的。由著名的哥德尔第二不完备性定理，如果ZFC是自洽的，那么反而不能证明自身的自洽性。要是我们居然发现了这种证明，那么，ZFC就真的成了自相矛盾的理论。
由于ZFC的基础意义，ZFC的矛盾可以说就是整个数学的矛盾。
至今为止，我们认为ZFC自洽，实际上是根据没有发现任何矛盾的“经验”。
哥德尔的定理说明什么呢？是理性的局限还是真理的相对性？抑或是不可知论的伟大胜利？现实不可理解的混沌本质？
都不是。
在上述的讨论中，隐含了这样一种态度：证明了自身的自洽性，那么这个理论就确认清白了。
正因如此，不完备性定理才会造成一种印象：ZFC做不到这种事情是一种缺陷。
但是我们遗漏了一个真相：不自洽的理论本来就可以证明本身的自洽啊！
由于矛盾式的性质，如果ZFC不自洽，那么ZFC就能证明其中任何命题，这也包括“ZFC是自洽的”（数理逻辑中一般用Con(ZFC)表示）本身。
因此，就算没有第二不完备性定理，我们能自如地在ZFC中证出ZFC是自洽的，这也压根不能保证ZFC的清白（第二不完备性定理所做的事是补上一刀：它铁定是有罪的），因为ZFC完全可能是因为不自洽而具备这种能力。
既然自证清白本就不可信，不能做这种证明又于我们何损？
要说明这种证明的可信，就需要保证“ZFC不能证明自己是不自洽的”，否则它完全可以在证出自己自洽后，又翻脸证出自己是不自洽的。
那么，是不是一旦和这一点结合，“理论能证明本身自洽”这个性质就是有用的呢？
并没有。
注意前面已经提到了，不自洽的理论不存在“不能证明”能够表达出来的命题的可能。
我们交代过：ZFC可以表达“ZFC自洽”。它当然也就能表达“ZFC不自洽”（记作￢Con(ZFC)）
所以单独用“ZFC不能证明自己是不自洽的”就已经说明了ZFC自洽这件事本身，又去在ZFC里证明它自洽完全就是多余的。
可见，对本身自洽性的证明本来就不要也罢。毕竟有了它也不能增加多少理论基础的安全性，没了它也不见得会减少。
现在我们看第二不完备性定理，是不是觉得理所当然多了？
真正诡异的事情还在后面呢。
笔者初识两大哥德尔不完备性定理时，心里想的是：坏了，要是数学既有自相矛盾，又有不完备，情况就太糟糕了。
类似的话也出现在试图对这些定理做些奇怪的引申的人笔下：“实际上几乎可以肯定，不自洽和不完备性会永远存在于人类的知识体系中，绝对真理是不存在的”云云。
现在想起来觉得当年果然还是图样图森破。
ZFC如果不自洽，它就一定是完备的。
理由已经提过了：￢Con(ZFC)表明ZFC能证明其中所有命题，这当然包括所有对应模型中的真命题，所以那表示ZFC已经达成了完备性的条件。
你可以说体系是不完备的，也可以怀疑体系有矛盾，但是用两个一起充当数学体系乃至人类知识体系的“弱点”，就未免太搞笑了。这是两个不可能相容的弱点。
现在我们如果放弃自洽性，可能得到一个完备的数学理论。
只不过这个理论有个恶习：它也会把所有模型中的假命题证出来。
认真读到这的读者或许会不满了：这种致命的缺陷你居然轻描淡写？
前面已经提到了模型的概念，不妨再明确一下：哥德尔的工作中所述的不可证明的真命题，其真假是由模型本身的性质决定的（语义真）。一个自洽的体系完全可以证明出一堆相应模型中的假命题，这时我们说它是不可靠的。
听起来更加变态的事情是，假如ZFC是自洽的，你将ZFC和￢Con(ZFC)合到一起——
会得到什么？自己说自己前面的内容自相矛盾？一个自黑的数学理论？
ZFC+￢Con(ZFC)并没有任何自相矛盾，它还是一个自洽的理论。
（请留意第二不完备性定理的内容）
可见，不完备的自洽理论也可以很“不合理”“无法容忍”。
那么，不自洽的完备理论的缺陷是否真的无法容忍呢？
其实，即使能同时证明命题P和它的否定（￢P），不代表理论对这两个命题是平等对待的。
如果形式体系中对P的最短证明很短，而对￢P的最短证明非常非常之长，以致于人们发现它所用的推理步骤数远远超过了人们能力所及，那人们也许永远都会觉得P是对的，永远都不会觉得理论在这个判断上有任何含糊。
你或许会觉得，这样的体系依然是不可信任的。
例如，若是我们有一个不自洽的理论，能快速证明某命题P，通过2^100^100步的推理将会得到￢P的最简证明，那这个理论是否算是骗了我们呢？
也对，也不对。
因为“2^100^100步的推理才能得到最简证明”就表示在10^61步以内的推理不会产生任何矛盾。否则我们可以利用这个矛盾式在小于2^100^100步对￢P做出更简的证明。而物理定律允许的推理本来就只有不到10^61步，对现实问题足够了。
这时能否快速判定一定长度的证明存在与否的问题就显得非常重要了（哥德尔本人对此提出过有意义的见解）。
所以，证明整体数学理论绝对没有矛盾一开始就是无甚必要的苛刻要求。
也许魔鬼真的是不存在的呢。
网友评论