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三角之目：2015年理数山东卷题16

三角之目：2015年理数山东卷题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-24 22:53 被阅读0次

2015年理数山东卷题16

设 f(x)=\sin x \cos x - \cos^2(x+\dfrac{\pi}{4}).

（Ⅰ）求 f(x) 的单调区间；

（Ⅱ）在锐角 \triangle ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 f(\dfrac{A}{2})=0, a=1，求 \triangle ABC 面积的最大值.

【解答第Ⅰ问】

\cos^2(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{2}\cos(2x+\dfrac{\pi}{2})+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\sin2x+\dfrac{1}{2}

\sin x \cos x = \dfrac{1}{2} \sin 2x

f(x)= \sin 2x -\dfrac{1}{2}

当 x \in [k \pi - \dfrac{\pi}{4}, k \pi + \dfrac{\pi}{4}], 函数 f(x) 单调递增；

当 x \in [k \pi + \dfrac{\pi}{4}, k \pi + \dfrac{3\pi}{4}], 函数 f(x) 单调递减；

其中，k \in Z.

【解答第Ⅱ问】

f(\dfrac{A}{2})=0 \Rightarrow \sin A = \dfrac{1}{2};

在锐角 \triangle ABC 中，0 \lt A \lt 90°, ∴ A=30°, B+C=150°;

根据正弦定理，2R = \dfrac{a}{\sin A}=2, R=1;

S_{\triangle ABC}= 2R^2 \sin A \sin B \sin C

2\sin B \sin C = \cos(B-C) - \cos(B+C) = \cos(B-C)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}

2\sin B \sin C \leqslant 1+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}， 当 B=C 时等号成立；

S_{\triangle ABC} \leqslant \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}

当 B=C 时，\triangle ABC 的面积取得最大值.

【提炼与提高】

三角形面积的最大值，是高考数学中的常见题型. 此处，我们用积化和差的方法解答；本题还有一种解决路径，就是用余弦定理解答. 详情请参考：2013年理数全国卷B 题17

【相关考题】

2013年理数全国卷B 题17

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