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三角之目：2013年理数湖北卷题17

三角之目：2013年理数湖北卷题17

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-16 22:12 被阅读0次

2013年理数湖北卷题17

在 \triangle ABC 中，角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c，已知 \cos 2A - 3 \cos(B+C)=1.

（Ⅰ）求角 A 的大小；

（Ⅱ）若 \triangle ABC 的面积 S=5\sqrt{3}, b=5，求 \sin B \sin C 的值.

【解答问题Ⅰ】

∵ 在 \triangle ABC 中，\cos(B+C)= - \cos A,

代入已知条件可得：

2 \cos^2 A+3 \cos A -2=0

(2\cos A-1)(\cos A+2)=0

又∵ \cos A \in (-1,1),

∴ \cos A = \dfrac{1}{2}, A=\dfrac{\pi}{3}.

【解答问题Ⅱ】

根据前节的结论可知：\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

又∵ S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc \sin A,

∴ bc = \dfrac{2 S_{\triangle ABC}}{\sin A} = 20

c = 4

a^2 = b^2+c^2-2bc \cdot \cos A=21

根据正弦定理，\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B}= \dfrac{c}{\sin C}= 2R

\sin B \sin C = \dfrac{bc \cdot \sin^2 A}{a^2}=\dfrac{5}{7}

【提炼与提高】

本题难度中等，适合用作同步强化练习.

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