三角之目：2013年理数江西卷题16

三角之目：2013年理数江西卷题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-14 00:01 被阅读0次

2013年理数江西卷题16

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\cos C + (\cos A - \sqrt{3} \sin A) \cos B =0$ .

（1）求角 $B$ 的大小；

（2）若 $a+c=1$ ，求 $b$ 的取值范围.

【解答第1问】

$\cos C = - \cos(A+B) = - \cos A \cos B + \sin A \sin B$

代入已知条件可得：

$\sin A \sin B - \sqrt{3} \sin A \sin B =0$

∵ $\sin A \gt 0$ ,

∴ $\sin B - \sqrt{3} \cos B =0$

$\tan B = \sqrt{3}$

$B = \dfrac{\pi}{3}$ .

【解答第2问】

根据前节结论可得： $A+C=\dfrac{2\pi}{3}$ .

$\sin A + \sin C = 2 \sin \dfrac{A+C}{2} \cos \dfrac{A-C}{2}=\sqrt{3}\cos\dfrac{A-C}{2}$

根据正弦定理和已知条件：

$a+c=2R(\sin A + \sin C)=1$

$2R=\dfrac{1}{\sin A + \sin C}=\dfrac{1}{\sqrt{3}\cos \dfrac{A-C}{2}}$

∵ $B=\dfrac{\pi}{3}$ , ∴ $-\dfrac{\pi}{3} \lt \dfrac{A-C}{2} \lt \dfrac{\pi}{3}$

∴ $\dfrac{1}{2} \lt \cos \dfrac{A-C}{2} \leqslant 1$

∴ $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leqslant 2R \lt \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ .

根据正弦定理， $b=2R \sin B = 2R \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

∴ $\dfrac{1}{2} \leqslant b \lt 1$ .

【提炼与提高】

本题难度中等，是很典型的三角大题.

顺利解答本题的要点如下：

（1）熟练掌握正弦定理；

（2）熟练掌握和差化积公式，并能够与函数思想综合；

（3）几个细节问题也要重视一下：

$\cos 0° = 1$

$\triangle ABC$ 中， $A+B+C=\pi$ , $\cos C = - \cos(A+C)$

$\sin A \in (0,1]$

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