三角之目：2015年理数浙江卷题16

三角之目：2015年理数浙江卷题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-27 19:49 被阅读0次

2015年理数浙江卷题16

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$ ，已知 $A=\dfrac{\pi}{4}, b^2-a^2=\dfrac{1}{2}c^2$ .

（Ⅰ）求 $\tan C$ 的值；

（Ⅱ）若 $\triangle ABC$ 的面积为 $3$ ，求 $b$ 的值.

【解答问题Ⅰ】

$b^2-a^2=\dfrac{1}{2}c^2 \Rightarrow b \gt a$

$\Rightarrow B \gt A \Rightarrow C \lt \dfrac{\pi}{2}$

根据余弦定理： $a^2=b^2+c^2 -2bc \cdot \cos A$

代入已知条件得： $\sqrt{2} b = \dfrac{3}{2} c$

根据正弦定理可得： $\sqrt{2} \sin B = \dfrac{3}{2} \sin C$

$\sin^2B=\dfrac{9}{8}\sin^2C$

$b^2-a^2=\dfrac{1}{2}c^2 \Rightarrow \sin^2B - \sin^2A=\dfrac{1}{2}\sin^2C$

$\dfrac{5}{8}\sin^2C=\sin^2A=\dfrac{1}{2}$

$\sin^2C=\dfrac{4}{5}$

$\tan^2C=\dfrac{\sin^2C}{1-\sin^2C}=4$

又∵ $C \lt \dfrac{\pi}{2}$ , ∴ $\tan C=2$ .

【解答问题Ⅱ】

根据前节结论： $\cos^2 C = \dfrac{1}{5}$ ,

$\sin C = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, \cos C = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ,

$\sin B = \sin(A+C)=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

$S_{\triangle ABC}=2R^2\sin A \sin B \sin C = 3$ ,

$2R^2=5$

$b = 2R \sin B = 3$ .

【提炼与提高】

本题难度中等，考查知识全面。正弦定理、余弦定理、面积公式、内角和、两角之和的正弦公式都用到了。

尤其需要留意的是：由已知条件 $b^2-a^2=\dfrac{1}{2}c^2$ 可得出结论 $b \gt a$ , 进而推出 $B \gt A$ , 再推出 $C$ 为锐角.

如果说，正弦定理和余弦定理是主要线索，这一条可以称为次要线索. 主要线索引人注目，多数学生掌握得比较好；次要线索不太醒目，却也是完整解答不可缺少的，需要留意一下.

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