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三角之目：2013年理数山东卷题17

三角之目：2013年理数山东卷题17

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-15 22:33 被阅读0次

2013年理数山东卷题17

设 \triangle ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 a+c=6, b=2, \cos B=\dfrac{7}{9}.

（Ⅰ）求 a,c 的值；

（Ⅱ）求 \sin(A-B)的值.

【解答问题Ⅰ】

设 t=(a-c), 则 a^c+c^2= \dfrac{1}{2}(a+c)^2 + \dfrac{1}{2}(a-c)^2=18+\dfrac{1}{2}t^2

ac= \dfrac{1}{4}(a+c)^2 - \dfrac{1}{4}(a-c)^2=9-\dfrac{1}{4}t^2

根据余弦定理可得：

b^2=a^2+c^2 -2 a c \cdot \cos B

4=18+\dfrac{1}{2}t^2 - 2 \times \dfrac{7}{9}(9-\dfrac{1}{4}t^2)

解得：t=0

∴ a=c=3.

【解答问题Ⅱ】

根据前节结论可得：\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{1}{3}

\sin A = \sqrt{1-\cos^2A}=\dfrac{2}{3}\sqrt{2}

\sin B = \sqrt{1-\cos^2B}=\dfrac{4}{9}\sqrt{2}

\sin(A-B)=\sin A \cos B - \cos A \sin B = \dfrac{10}{27} \sqrt{2}

【提炼与提高】

本题难度中等，适合用作补充练习.

除了余弦定理和三角恒等变换这些核心的内容，可能需要留意一下完全平方公式的几个推论，详见下文：

应用初中数学破解高考数学题：『二次项钻石』

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