指数与对数客观题：2019年理数全国卷C题11

指数与对数客观题：2019年理数全国卷C题11

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-17 20:27 被阅读0次

2019年理数全国卷C题11

设 $f(x)$ 是定义域为 $\boldsymbol {R}$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减，则

$A.f(\log_3\dfrac{1}{4}) \gt f(2^{-\frac{3}{2}}) \gt f(2^{-\frac{2}{3}})$

$B.f(\log_3\dfrac{1}{4}) \gt f(2^{-\frac{2}{3}}) \gt f(2^{-\frac{3}{2}})$

$C.f(2^{-\frac{3}{2}}) \gt f(2^{-\frac{2}{3}}) \gt f(\log_3\dfrac{1}{4})$

$D.f(2^{-\frac{2}{3}}) \gt f(2^{-\frac{3}{2}}) \gt f(\log_3\dfrac{1}{4})$

【解答】

∵ $f(x)$ 是定义域为 $\boldsymbol{R}$ 的偶函数，

而 $\log_3 \dfrac{1}{4} + \log_3 4 = 0$

$\log_3 \dfrac{1}{4} =- \log_3 4$

∴ $f(\log_3\dfrac{1}{4}) = f(\log_3 4)$

∵ $g(x)=2^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，且 $2^0=1$ ,

∴ $0 \lt 2^{-\frac{3}{2}} \lt 2^{-\frac{2}{3}} \lt 1$

又 ∵ $\log_3 4 \gt 1$ ,

∴ $f(2^{-\frac{3}{2}}) \gt f(2^{-\frac{2}{3}}) \gt f(\log_3 \dfrac{1}{4})$

结论：选项C正确。

【提炼与提高】

本题考查：

(1) 指数函数的性质；

(2) 对数函数的性质；

(3) 偶函数的概念；

(4) 单调函数的概念；

本题难度不高，涉及的知识点不少，比较适合用作高一阶段的补充习题。

【回归教材】

《必修一》第85页（§3.2.2）提出了这样一个问题：

一般地，如果知道 $y=f(x)$ 为偶（奇）函教，那么我们可以怎样简化对它的研究?

对以上问题，易老师的回答是：对于偶（奇）函数，我们可以集中精力研究它在 $(0,+\infty)$ 的性质；只要把在 $(0,+\infty)$ 的性质搞清楚，根据对称性，它在 $(-\infty,0)$ 的性质也就自然清楚了.

教科书上没有废话，希望大家多花时间研读教科书.

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