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指数与对数客观题：2016年理数全国卷A题8

指数与对数客观题：2016年理数全国卷A题8

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-14 22:09 被阅读0次

2016年理数全国卷A题8

（8）若 a \gt b \gt 1,\; 0 \lt c \lt 1，则

(A)a^c \lt b^c \qquad\qquad (B)ab^c \lt ba^c \qquad
(C)a\log_bc \lt b\log_ac \qquad (D)\log_ac \lt \log_bc

【解法1】

高考客观题对于过程不作要求；只要有一个办法迅速而准确地找到答案即可。

具体到本题，可以用代入具体数值的办法来解决。

因为 8 \gt 2 \gt 1 \gt \dfrac{1}{2} \gt 0

所以，可以令 a=8, b=2, c=\dfrac{1}{2}.

(A) 8^{\frac{1}{2}} \gt 2^{\frac{1}{2}}, 选项A错误；

(B) 8\times 2^{\frac{1}{2}}=8\sqrt{2};\; 2\times 8^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}, ab^c \gt ba^c;

选项B错误；

(C) 8\log_2 \dfrac{1}{2}=-8;\; 2\log_8 \dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{3},

选项C正确；

(D) \log_8\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{3}; \log_2\dfrac{1}{2}=-1

\log_8\dfrac{1}{2} \gt \log_2\dfrac{1}{2}

选项D错误；

结论：选项C正确。

【解法2】

(A) \dfrac{a}{b} \gt 1,\; c \gt 0 \Rightarrow\;(\dfrac{a}{b})^c \gt 1 \Rightarrow\; a^c \gt b^c

选项A错误；

(B) 0 \lt c \lt 1, (1-c) \gt 0,

\dfrac{ab^c}{ba^c}=(\dfrac{a}{b})^{(1-c)} \gt 0, ab^c \gt ba^c

选项B错误；

(C) ∵ a \gt b \gt 1,

∴ a^{\frac{1}{b}} \gt a^{\frac{1}{a}} \gt b^{\frac{1}{a}} \gt 1

∵ 0 \lt c \lt 1, ∴ 函数 f(x)=\log_c x 在区间 (0,+\infty) 上单调递减；

\log_c a^{\frac {1}{b}} \lt \log_c b^{\frac {1}{a}} \lt 0

\dfrac {1}{b} \log_c a \lt \dfrac {1}{a} \log_c b \lt 0

0 \gt \dfrac {b}{\log_c a} \gt \dfrac {a}{\log_c b}

b \log_a c \gt a \log_b c

选项C正确.

(D) ∵ 0 \lt c \lt 1, ∴ 函数 f(x)=\log_c x 在区间 (0,+\infty) 上单调递减；

∵ a \gt b \gt 1, ∴ \log_c a \lt \log_c b \lt 0

∴ \dfrac{1}{\log_c a} \gt \dfrac{1}{\log_c b}

∴ \log_a c \gt \log_b c

选项D错误.

【提炼与提高】

从以上解答过程可以看出，就一般性情况进行严格地讨论，工作量较大；而针对几个具体的数值进行试验，工作量要小得多。

在备考过程中，两种方法都要掌握；从考试得分的角度来说，应优先采用方法一。

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