指数与对数客观题：2016年理数全国卷A题8

指数与对数客观题：2016年理数全国卷A题8

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-14 22:09 被阅读0次

2016年理数全国卷A题8

（8）若 $a \gt b \gt 1,\; 0 \lt c \lt 1$ ，则

$(A)a^c \lt b^c \qquad\qquad (B)ab^c \lt ba^c \qquad$
$(C)a\log_bc \lt b\log_ac \qquad (D)\log_ac \lt \log_bc$

【解法1】

高考客观题对于过程不作要求；只要有一个办法迅速而准确地找到答案即可。

具体到本题，可以用代入具体数值的办法来解决。

因为 $8 \gt 2 \gt 1 \gt \dfrac{1}{2} \gt 0$

所以，可以令 $a=8, b=2, c=\dfrac{1}{2}$ .

(A) $8^{\frac{1}{2}} \gt 2^{\frac{1}{2}}$ , 选项A错误；

(B) $8\times 2^{\frac{1}{2}}=8\sqrt{2};\; 2\times 8^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}$ , $ab^c \gt ba^c$ ;

选项B错误；

(C) $8\log_2 \dfrac{1}{2}=-8;\; 2\log_8 \dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{3}$ ,

选项C正确；

(D) $\log_8\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{3}; \log_2\dfrac{1}{2}=-1$

$\log_8\dfrac{1}{2} \gt \log_2\dfrac{1}{2}$

选项D错误；

结论：选项C正确。

【解法2】

(A) $\dfrac{a}{b} \gt 1,\; c \gt 0 \Rightarrow\;(\dfrac{a}{b})^c \gt 1 \Rightarrow\; a^c \gt b^c$

选项A错误；

(B) $0 \lt c \lt 1$ , $(1-c) \gt 0$ ,

$\dfrac{ab^c}{ba^c}=(\dfrac{a}{b})^{(1-c)} \gt 0$ , $ab^c \gt ba^c$

选项B错误；

(C) ∵ $a \gt b \gt 1$ ,

∴ $a^{\frac{1}{b}} \gt a^{\frac{1}{a}} \gt b^{\frac{1}{a}} \gt 1$

∵ $0 \lt c \lt 1$ , ∴ 函数 $f(x)=\log_c x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减；

$\log_c a^{\frac {1}{b}} \lt \log_c b^{\frac {1}{a}} \lt 0$

$\dfrac {1}{b} \log_c a \lt \dfrac {1}{a} \log_c b \lt 0$

$0 \gt \dfrac {b}{\log_c a} \gt \dfrac {a}{\log_c b}$

$b \log_a c \gt a \log_b c$

选项C正确.

(D) ∵ $0 \lt c \lt 1$ , ∴ 函数 $f(x)=\log_c x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减；

∵ $a \gt b \gt 1$ , ∴ $\log_c a \lt \log_c b \lt 0$

∴ $\dfrac{1}{\log_c a} \gt \dfrac{1}{\log_c b}$

∴ $\log_a c \gt \log_b c$

选项D错误.

【提炼与提高】

从以上解答过程可以看出，就一般性情况进行严格地讨论，工作量较大；而针对几个具体的数值进行试验，工作量要小得多。

在备考过程中，两种方法都要掌握；从考试得分的角度来说，应优先采用方法一。

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