一、前言

前几个星期的面试题都有点稀奇古怪，这个星期来一个正常点的题目，可是这题目可能对于个别人来说是如此的熟悉但又很陌生。因为那是我们高中时常做的题目，现在却还给老师了。那让我们好好回忆一下。

二、题目

6× 9的的方格中，起点的左下角，终点在右上角，从起点到终点，只能从下向上，从左向右走，问一共有多少种不同的走法。
A. 4200
B. 5005
C. 1005
D. 以上都不正确

三、解题

当然这道题有点异议，为什么这样说呢？因为题目没有明确说明是按方格来走还是按照线来走。

首先我们尝试下按方格来走，得到的结果是什么？要想知道结果，我们需要知道题目想考察我们什么，很显然，题目其实考察我们高中非常熟悉的排列组合的问题，完完全全就是高中的题目，可是现在可能对于我们来说又是如此的陌生。这道题如果按方格来走的话，结果就是 C(5, 13) = 1287 。13 是哪里来的，5 又是哪里来的，思考之前，我们可以先看一张图。

走格子.png

根据图片可以看出，13 就从左下角到右上角一个要走的格子数，5 就是走的行数，为什么是从 13 个中选 5 个来组合就知道一共有多少种走法呢？其实因为我们只要知道了行数的 5 个的位置我们就知道列数 8 个格子的位置，当然你也可以 13 选 8 ，结果都是一样的。为啥一样，贴一张图来回忆起我们遗忘的记忆吧。

排列组合的公式.jpg

因此，按走的是格子来算，结果是 C(5, 13) = C(8, 13) = 1287

其实这道题目想表达的意思是按线来算的，可是原理还是跟上面一样的

走线.png

因此，按走的是线来算，结果是 C(6, 15) = C(9, 15) = 5005

四、类似的题目

其实这种题目很多大企业大公司都会作为面试题，比如我们来看看下面两道类似的题目：

1.阿里巴巴的笔试题目

说 16 个人按顺序去买烧饼，其中 8 个人每人身上只有一张 5 块钱，另外 8 个人每人身上只有一张 10 块钱。烧饼 5 块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16 个顾客互相不通气，每人只买一个。问这 16 个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

假设付 5 块钱的人都是 1，付 10 块钱的人都是 0 ，则排队顺序可能为1111111100000000 或各种 1 与 0 的排列组合，那么总共的排列顺序就是C（16，8），这里跟上面的都是一样的，但是为了避免找不开钱，则从左到右时，不能有 0 的数目小于 1 的数目的情况出现。如果出现这种情况，则必然存在第2m+1 个数目时（即某个奇数数目），前 2m+1 个数目中有 m+1个0，m 个 1 。那么在剩余的 16-2m-1 个数目中，即 15-2m 个数目中，必然存在着 8-m-1 个 0 ，8-m 个 1 ，即 7-m 个 0 ，8-m 个 1 。现在再把剩余的 16-2m-1 个数目中的 0 与 1 互换，则为 8-m 个0，7-m 个 1 ，这个时候，整个数列就变为了 9 个 0，7 个 1 。所以一个不符合要求的数目为 9 个 0 和 7 个 1 组成。因此，结果为 C（16，8）-C（16，9）= 12870 - 11440 = 1430

2.2012腾讯实习招聘笔试题

在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

其实这些问题可以转化为下面的格路问题，从左下角到右上角，不能是对角线，有多少种方案。不过加了限制条件而已，这道题跟阿里巴巴那道面试题一样，结果为：结果为 C（6，3）-C（6，4）= 20 - 15 = 5

五、编程

GitHub:https://github.com/TwoWater/Interview/tree/master/Interview

package com.liangdianshui;

/**
 * <p>
 * 6× 9的的方格中，起点的左下角，终点在右上角，从起点到终点，只能从下向上，从左向右走，问一共有多少种不同的走法。
 *  A. 4200 
 *  B. 5005
 *  C. 1005 
 *  D. 以上都不正确
 * </p>
 * 
 * @author liangdianshui
 *
 */
public class Catalan {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(func(6, 9));
    }

    public static int func(int m, int n) {

        if (m < 1 || n < 1) {
            return 1;
        }

        return func(m - 1, n) + func(m, n - 1);
    }
}