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解析几何之目：2021年理数全国卷A题20

解析几何之目：2021年理数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-31 22:58 被阅读0次

2021年理数全国卷A题20

分值：12分

抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l:x=1 交 C 于 P,Q 两点，且 OP \perp OQ . 已知点 M(2,0) ，且\odot\, M 与 l 相切.

（1）求 C, \odot M 的方程;

（2）设 A_1,A_2,A_3 是 C 上的三个点，直线 A_1A_2, A_1A_3 均与 \odot M 相切. 判断直线 A_2A_3 与 \odot M 的位置关系，并说明理由.

【解答问题1】

依题意可知： x 轴是抛物线 C 的对称轴；P,Q 两点关于 x 轴对称，

∴ OQ=OP, \triangle OPQ 是等腰直角三角形,

P,Q 两点坐标为：(1, \pm 1),

抛物线 C 的方程为： y^2=x.

∵ 点 M(2,0) 与直线 l 的距离为 1,

∴ \odot M 的方程为：(x-2)^2+y^2=1

【解答问题2】

∵ A_1,A_2,A_3 是 C 上的三个点，可设点 A_1 的坐标为 A_1(t^2,t).

过点 A_1 的直线方程可设为：x-t^2= \lambda(y-t)

即：x-\lambda y +\lambda t -t^2=0

若该直线与 \odot M 相切，则与 M(2,0) 的距离等于 1，根据距离公式得：

(2+\lambda t -t^2)^2=1+\lambda^2

(t^2-1)\lambda^2-2t(t^2-2)\lambda+(t^2-1)(t^2+3)=0

根据韦达定理可得：

\lambda_2+\lambda_3= \dfrac{2t(t^2-2)}{t^2-1}=2t-\dfrac{2t}{t^2-1}

\lambda_2\cdot\lambda_3=t^2-3

\lambda_2,\lambda_3 分别对应于直线 A_1A_2, A_1A_3.

∵ A_1,A_2,A_3 是 C 上的三个点，

∴ \dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=y_1+y_2,

\dfrac{x_1-x_3}{y_1-y_3}=y_1+y_3

y_2+y_3 = (\lambda_2+\lambda_3)-2y_1

=\dfrac{-2t}{t^2-1}

\lambda_2 \cdot \lambda_3=t^2+t(y_2+y_3)+y_2y_3

y_2y_3=\dfrac{3-t^2}{t^2-1}

y^2_2+y^2_3=(y_2+y_3)^2 -2y_2y_3

=\dfrac{2(t^4-2t^2+3)}{(t^2-1)^2}

记 A_2A_3 中点为 M(x_{_M}, y_{_M}), 则

y_{_M} = \dfrac{1}{2} (y_2+y_3)

=\dfrac{-t}{t^2-1}

x_{_M}= \dfrac{1}{2}(y^2_2+y^2_3)

=\dfrac{(t^4-2t^2+3)}{(t^2-1)^2}

直线 A_2A_3 的方程为：

x- \dfrac{(t^4-2t^2+3)}{(t^2-1)^2} = \dfrac{-2t}{(t^2-1)} (y+\dfrac{t}{t^2-1})

(t^2-1)^2x+2t(t^2-1)y-(t^2-1)(t^2-3)=0

t=1 可以排除

直线 A_2A_3 的方程为：

(t^2-1)x+2ty-(t^2-3)=0

记该直线与 M(2,0) 的距离为 d, 则

d= \dfrac{|2(t^2-1)-t^2+3|}{\sqrt{(t^2-1)^2+4t^2}}

=\dfrac{|t^2+1|}{\sqrt{(t^2+1)^2}}=1

∴ A_2A_3 与 \odot M 相切. 证明完毕.

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