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椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-12 00:22 被阅读0次

椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}，点 (2,\sqrt{2}) 在 C 上.

（I）求 C 的方程;

（Ⅱ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A,B，线段 AB 的中点为 M. 证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

【解答问题I】

e=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow\; e^2=\dfrac{1}{2},\; c^2=b^2, a^2=2b^2

代入点 (2,\sqrt{2}) 坐标得：\dfrac{4}{2b^2}+\dfrac{2}{b^2}=1

∴ b^2=4,a^2=8

C 的方程为：\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1

【解答问题Ⅱ】

椭圆的方程可化为：b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2

因为 A,B 两点均在椭圆上，所以

b^2x^2_{_A} +a^2y^2_{_A}=a^2b^2

b^2x^2_{_B} +a^2y^2_{_B}=a^2b^2

以上两式相减得：b^2(x^2_{_A}-x^2_{_B}) + a^2(y^2_{_A}-y^2_{_B})=0

b^2(x_{_A}-x_{_B})(x_{_A}+x_{_B})+a^2(y_{_A}-y_{_B})(y_{_A}+y_{_B})=0

\dfrac{b^2}{a^2}+ \dfrac{(y_{_A}-y_{_B})}{(x_{_A}-x_{_B})} \cdot \dfrac{(y_{_A}+y_{_B})}{(x_{_A}+x_{_B})}=0

直线 l 的斜率为 k_{_{AB}}=\dfrac{(y_{_A}-y_{_B})}{(x_{_A}-x_{_B})}；直线 OM 的斜率为 k_{_{OM}}=\dfrac{(y_{_A}+y_{_B})}{(x_{_A}+x_{_B})}.

所以，k_{_{AB}} \cdot k_{_{OM}} + \dfrac{b^2}{a^2} = 0

k_{_{AB}} \cdot k_{_{OM}} = - \dfrac{b^2}{a^2}

证明完毕.

【提炼与提高】

点差法（平方差法）是解析几何中的重要方法，高考常考，一定要掌握。

记弦的中点为 M, 则直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 这是一个重要的常用结论。

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