平面几何复习与提高：直角三角形与等腰三角形

本文所录3题都是平面几何中基本而又核心的问题，主要面向基础弱的学生，包括初中生和高中生。

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问题1

已知： 中，点 为 中点，.

求证：.

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问题2

已知： 中，点 为 中点，.

求证：.

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问题3

已知： 中，，点 为 边上一点，.

求证：.

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【问题1之证法1】

∵ 点 是 中点，∴

而 , ∴

∵ , ∴ , （等腰三角形的性质）

∵ , ∴ , （等腰三角形的性质）

∴ （等式的性质）

∴

而 （三角形的内角和定理）

∴ . 证明完毕.

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【问题1之证法2】

∵ 点 是 中点，∴

而 , ∴

∵ , ∴ ,

∴ （三角形的外角等于不相邻的两内角之和）

∵ , ∴ ,

∴

又∵ （两角之和为平角）

∴

∴ . 证明完毕.

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【证明问题2】

延长 至点 , 使得 .

在 与 中：

∴

∴ ,

又∵ , ∴ , ∴

在 与 中：

∴

∴

∴ . 证明完毕.

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【证明问题3】

∵ ,

∴ ,

∵ , ∴ , ∴ .

∵ ,

∴ （同角的余角相等）

∴ （等腰三角形的判定定理）

∵ ,

. （等量传递）

证明完毕.

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【提炼与提高】

问题1与问题2实际上都是平面几何中的定理，可以用文字表述如下：

『三角形中，如果某条边上的中线等于该边长的一半，则该边所对角为直角。』

『直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。』

『直角三角形斜边上的中点就是该三角形的外心。』

『圆的直径所对的圆周角是直角.』

由以上定理还可以得出以下作图方法。

「直角三角形的作图法」

先作半圆弧，然后在弧上任取一点，连接该点与直径的两个端点，即可得到一个直角三角形。

「矩形的作图法」

先作一个圆；

再任作两条直径；

连接两条直径的四个端点，即可得到一个矩形。

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这几个问题是平面几何中基本而又核心的问题，非常重要。强调一下：

考试要考；中考要考，高考要考；中考和高考都要考。

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【相关考题】

在高中数学，尤其是立体几何和解析几何中，会经常用到以上命题。这里简单地举几个例子：

「多面体与球：2011年全国卷题15」

「多面体与球：2012年全国卷题11」

「多面体与球：2013年全国卷A题6」

「多面体与球：2017年全国卷C题8」

「多面体与球：2010年全国卷题10」

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