在上一篇笔记中，我们在最后留下了一个问题：
假定网络中总共有N个节点，每个节点都与自身以外的n个不同点相邻，那么在这样的模型中，n与N满足什么样的关系时，网络几乎可以肯定会断裂？
这次的主要目的，就是来解决这个问题——当然，是在一个很大的近似前提下进行解决。
首先让我们来看这个网络模型——均匀网络。
均匀网络的特点，就是每个节点和别的节点几乎没有丝毫区别，其构造基本可以如此来完成：
均匀网络：网络中总共有N个节点，其中每个节点都有p的概率与别的节点相连从而构成从自身向该邻点的路径。
以此来构造的网络，每个节点在很大概率上都与别的节点没有本质上的差异——虽然再以概率相连的时候总有一定概率会构造出一个子网络，它是孤立的（参考上一篇文章中的定义），或者这个子网络内部点的相邻概率远大于与外部点的相邻概率。这样的情况总是会几率性地发生，不过至少从构造方法上来看，每个点都与别的点别无二致。
这样构造出来的网络我们还可以进一步做约束，以期得到更加“均匀”的网络。我们先定义从点A到点B的路径存在的点B为A的出邻点，而A是B的入邻点，则有：
均匀网络2：网络中总共有N个节点，其中每个节点都有p的概率与别的节点相连使其成为该点的出邻点，且每个点的出邻点与入邻点数的差的绝对值小于某阀值q。
这样定一下的均匀网络，至少可以避免出邻点均匀而入邻点不均匀或者反过来的情况，但一样无法避免孤立子网的出现。
再进一步，我们还可以定义更严格的均匀网络：
均匀网络3：网络中总共有N个节点，其中每个节点都有n个出邻点/入邻点。
以及：
均匀网络4：网络中总共有N个节点，其中每个节点都有n个出邻点和入邻点。
可见，均匀网络4是“看起来”最均匀的，虽然一样无法避免孤立子网的出现，但至少就构成法则的角度来说，每个点都与别的点严格“相似”。
上面谈结构谈了半天，其实什么用都没有。
所以下面就要用均匀的思想来从模型的角度分析一下网络的断裂条件。
从实际情况来说，要判断一个网络是否断裂，唯一可行的方案就是一个一个点去检查有没有网络中与该点不相连的节点，从而工作量基本上是与网络节点数的平方成正比。
这样的工作量当然是很不能让人满意的，但如果这个网络是一个均匀网络的话，那么情况会有所好转。
对于一个“理想”的均匀网络来说，任何节点与别的节点都没有差别，所以我们只需要研究清楚一个节点，那么别的节点的情况也就透彻了，从而工作量就直接减少到了和节点数线性相关。
进一步，既然是均匀网络，那么我们事实上也并不必要对节点的连接情况去一个一个节点检查，可以使用数学工作来做恰当的近似：
这个迭代数列的意义非常明确，中括号内的是第i轮新增节点中有节点与其它节点相连的概率，而后面的小括号内的则是余下还没被连的节点总数。
对于实际的网络来说，这里还要进行一步取整，不过在近似的计算中，取整这一步倒是可以暂且不做考虑。
这个方程的意义明确，在理想的均匀网络中，它当然就给出了从一组初始节点开始向外扩展的每一圈的节点数量——这点在均匀网络中研究动力学过程还是非常有用的。
但，这个方程的缺点也很显然，那就是不便于计算。
为此，我们可以在p足够小的情况下，选择这个迭代关系的更容易计算的近似版本：
很显然，这个方程相较于之前的方程，关键就在于当p很小的时候可以做微扰展开并只取第一项，从而也就是说要求了pN_i也要是一个很小的值，否则微扰的前提条件就不成立了。
这个方程比之前的方程可爱了很多，我们可以做如下分析：
从而现在迭代关系不依赖于求和，看上去“优雅”了很多。
进一步分析可得：
到这里，都是对第二个迭代方程的非近似分析，但我们很郁闷地发现，到这里之后就无以为继了：我们无法得到非迭代的精确表达式，即Ni的通项公式。
在继续之前，让我们先换一个角度来考虑这个问题。
对于这个差分迭代方程，我们自然可以研究其对应的微分方程长什么样：
很显然，这个对应的微分方程还是可以解的：
解本身与原来的差分方程具有相当明显的误差，但在大致的形状上倒是基本符合。
而且，更重要的是，它为我们进一步去“猜测”原本差分方程的近似解，提供了很有效的方向。
回到差分方程上来：
让我们对Ti做一个近似：只保留到pn的一阶项。
此时，Ti的形式出于意料地简洁：
从而进一步我们可以得到pn一阶近似下的Ni：
从数据分析可以看出，当i很小且pn很小的时候，这个表达的准确度还是很高的，但随着i的增大，虽然pn很小，但pnqi却变得很大，从而近似被破坏。
那么，我们是否就束手无策了呢？
倒也未必。
观察这个近似表达，以及之前对于微分化之后的二阶微分方程的结果，我们可以很容易地给出一个一阶展开后与此相同的表达：
这个结果已经比之前的好了很多，但依然在i足够大的时候会有较明显的偏差。
于是，再进一步，我们可以给出一系列一阶展开下与上述表达相同的结果，以作为近似的候选人：
通过分析可以发现，当d选择不同值时，上述结果分别在不同的q值区域与实际的差分迭代方程的结果足够接近，从而接下来我们的任务就变成了寻找合适的d与q的关系了。
通过复杂的分析与尝试，这样的结果当然是被找到了：
其中，q=p(N-n)=2.68这个状态是一个临界值，当q比这个值小时，该均匀网络就会断裂——即对Ni的求和将给出一个比总节点数N小的收敛值，从而表明无论如何“拓张”，从一组初始节点出发都不可能扩张满整个网络，从而总有节点是不能与初始节点相连的。
但，对于这个神奇的数字是如何出现的我们目前还不知道，只能从数据拟合上发现这个魔术值，所以下一步就是针对这个数值的来源做出分析。
先PS一下：如果直接做Ni的二阶展开来找函数的表达是否可能呢？让我们来观摩一下：
其中：
是不是可以头也不回地选择放弃了？
现在，目光聚焦在神秘的Magic Number 2.68上。
这个数决定了网络是否会断裂，而是否会断裂从另一个角度来说，就是对Ni的求和是否可以覆盖到网络总结点数N，因此答案当然要从Ni的求和Ti中去找了。
直接对Ni的近似表达做求和显然是不可能有结果的，所以我们还是老办法，先看Ti的一阶展开：
显然，这个结果是不正确的，因为随着i的增加，无论q多小，只要比1大，那么该式的后一项必然会超过前一项，从而整个求和变成负数，从而是不可能的。
分析求和的情况，我们发现，理想的情况应该是随着i的增加，最后T稳定在一个常数上，不再发生变化。
结合此前对Ni近似表达式的猜测过程，这样的目标倒是不难达成：
其中，花括号外的部分最高到q的i-1阶，而花括号内的部分则为q的2-i阶，从而最终结果，随着i的增加，T会趋向于一个常值。
因此，Ti的近似表达显然就是以此为基础的。
然后让我们来看T的最终稳定值：
分析它与实际差分方程的解的求和T，我们可以获得这么一个关系：
有了这个结果对于我们获得那个Magic Number就非常有帮助了，这里简单起见我们将最后的分式部分先忽略：
这是只考虑最粗的修正后的结果，已经比较靠谱了，如果考虑上被忽略掉的分式的部分，那么结果将更加接近那个Magic Number 2.68。
而，对于求和Ti的近似解，也可以获得了：
至此，我们终于将均匀网络（模型近似）中的断裂问题的差分迭代方程（第二次模型近似）的近似方程（计算近似）的近似解（第二次计算近似）给解出了。
我们得到了每一次扩张所得的新节点的数量的近似关系，还得到了总数的近似关系，并得到了判断网络是否会断裂的临界值。
我们当然也可以直接从上面的结果推导出如此均匀网络的直径：
做点近似可得：
不得不说，这个直径的结果真是出于意料地无聊啊。。。
顺便，我们可以看到，如果取N为70亿，n=1，q为邓巴数150，那么这样一个全球均匀人际网的直径，就是6。
这便是六度分国原理，当然，这里更应该说是“六度分球”吧。
好了，到这里，这个最简单问题的近似已经算是解决了。
下次有时间，我们再来算那个非近似的原始迭代方程的近似解吧。
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