椭圆:2014年数学全国卷B题20(文理同题)
(20)(本小题满分12分)
设 分别是椭圆,的左、右焦点, 是 上一点且 与 轴垂直. 直线 与 的另一个交点为
(I)若直线 的斜率为 ,求 的离心率;
(Ⅱ)若直线 在 轴上的截距为 ,且 ,求 .
【解答问题I】
∵ 且
∴
∴
∴ .
【解答问题Ⅱ】
∵ 与 轴垂直, 是右焦点,∴ 点 的坐标为 .
∵ 直线 在 轴上的截距为 ,∴
作 轴, 点为垂足. 显然,
∵ , ∴ , ∴ .
∴ 点 的坐标为
代入椭圆方程可得:
又∵ , , ,
∴
椭圆的方程为:
【提炼与提高】
『数形结合,几何开路』
概括地说,解析几何就是用代数方法研究几何。数形结合是解析几何最基本最常用的思路方法。
在目前的教学实践中,往往对方程的训练强调较多,而对几何分析强调不够。本题有助于纠正这种不良倾向。
『椭圆相关的几个特殊点』
椭圆 有一些关联的特殊点,熟悉这些特殊点可以提高解题效率。
左右焦点:
左右顶点:
上下顶点:
横坐标与焦点相同的4个点:
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