数形结合效率高：2014年数学全国卷B题20（文理同题）

椭圆：2014年数学全国卷B题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）

设 分别是椭圆，的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直. 直线 与 的另一个交点为

（I）若直线 的斜率为 ，求 的离心率;

（Ⅱ）若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 .

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【解答问题I】

∵ 且

∴

∴

∴ .

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【解答问题Ⅱ】

∵ 与 轴垂直， 是右焦点，∴ 点 的坐标为 .

∵ 直线 在 轴上的截距为 ，∴

作 轴， 点为垂足. 显然，

∵ , ∴ , ∴ .

∴ 点 的坐标为

代入椭圆方程可得：

又∵ , , ,

∴

椭圆的方程为：

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【提炼与提高】

『数形结合，几何开路』

概括地说，解析几何就是用代数方法研究几何。数形结合是解析几何最基本最常用的思路方法。

在目前的教学实践中，往往对方程的训练强调较多，而对几何分析强调不够。本题有助于纠正这种不良倾向。

『椭圆相关的几个特殊点』

椭圆 有一些关联的特殊点，熟悉这些特殊点可以提高解题效率。

左右焦点：

左右顶点：

上下顶点：

横坐标与焦点相同的4个点：

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