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初高中衔接讲座：根式方程

初高中衔接讲座：根式方程

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-06 21:14 被阅读0次

\boxed{\mathbb{Q5.}} 根式方程

在实数集内解方程：

（1）\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1

（2）\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}

（3）\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2

【解】

我们先引入一个函数：y=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}

在实数集内讨论，该函数的定义域满足以下不等式：

2x-1 \geqslant 0

x- \sqrt{2x-1} \geqslant 0

解得：x \geqslant \dfrac{1}{2}

另一方面，

y^2=x+\sqrt{2x-1} + x-\sqrt{2x-1} + 2\sqrt{x^2-2x+1}

=2x + 2|x-1|

当 \dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1， y^2=2, \; y=\sqrt{2},

当 x \gt 1， y^2=4x-2, \;y \gt \sqrt{2},

当 x=\dfrac{3}{2}, y^2=4, y=2, 即 \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2 成立.

综上所述，方程（1）在实数集内无解；

方程（2）的解为 \dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1;

方程（3）的解为 x=\dfrac{3}{2}.

【提炼与提高】

这是一道竞赛题，因为比较接地气，所以被众多教辅书选录.

解答此题所需要的知识和方法，其实在教科书上都有介绍。区别在于：在灵活性和严谨性方面对学生的要求更高一些。

在上高中前强化训练一下，是很有好处的。

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