解析几何之目：2021年理数全国卷B题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-03-27 22:39 被阅读0次

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2021年理数全国卷B题21

分值：12分

已知抛物线 $C:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上点的距离的最小值为 $4$ .

（1）求 $p$ ;

（2）若点 $P$ 在 $M$ 上， $PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线， $A,B$ 是切点，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值.

【解答问题1】

两点之间直线段最短.

圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 的圆心为 $M(0,-4)$ .

$N(0,-3)$ 为圆 $M$ 与 $y$ 轴的交点.

若点 $D$ 为圆 $M$ 上一点且 $D$ 不在 $y$ 轴上，则 $|FM| \lt |FD| + |DM|$

即 $|FN| + |NM| \lt |FD| + |DM|$

又∵ $|NM| = |DM| =1$

∴ $|FN| \lt |FD|$

∴ 圆 $M$ 上与 $F$ 距离最小的点是 $N(0,-3)$

$\dfrac{p}{2}+3=4$

∴ $p=2$

抛物线的方程为： $C:\;x^2=4y$

【解答问题2】

设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ , 并记切点坐标为 $(x,y)$ .

记 $AB$ 中点为 $M(x_{_M}, y_{_M})$ .

抛物线的切线斜率可以根据切点坐标计算得出，

抛物线方程为 $C:x^2=4y$ , 斜率 $k_{_A}=\dfrac{x_{_A}}{2}$

斜率 $k_{_B}=\dfrac{x_{_B}}{2}$

记切点坐标为 $(x,y)$ . 则有：

$y-y_0= \dfrac{x}{2} ( x - x_0)$

$\dfrac{1}{4}x^2 - y_0 = \dfrac{1}{2} x^2 - \dfrac{1}{2}x_0 x$

$x^2-2x_0x + 4y_0 = 0$

根据韦达定理得：

$x_1+x_2= 2x_0$

$x_1 \cdot x_2=4y_0$

$(x_1-x_2)^2=4x^2_0-16y_0$

$x^2_1+x^2_2=4x^2_0-8y_0$

$x_{_M} = \dfrac{1}{2} (x_1+x_2) = x_0$

$y_1+y_2=\dfrac{1}{4}(x^2_1+x^2_2)=x^2_0-2y_0$

$y_{_M} = \dfrac{1}{2}(y_1+y_2)=\dfrac{1}{2}x^2_0-y_0$

$k_{_{AB}} = \dfrac{1}{2}x_{_M} = \dfrac{1}{4}x_0$

$|AB|^2=(k^2_{_{AB}}+1)(x_1-x_2)^2$

$=\dfrac{1}{4}(x^2_0+16)(x^2_0-4y_0)$

直线 $AB$ 的方程为： $x_0x-4y+x^2_0-4y_0=0$

记点 $P$ 与直线 $AB$ 的距离为 $h$ , 则

$h^2=\dfrac{2(x^2_0-4y_0)}{(x^2_0+16)}$

$|AB|^2 \cdot h^2 = \dfrac{1}{2} (x^2_0-4y_0)^2$

点 $P$ 在圆 $M$ 上，其坐标可用参数方程表示如下：

$\left\{ \begin{array}\\ x=\cos\theta \quad (0 \leqslant\theta\lt 2\pi)\\ y=-4+\sin\theta\qquad \end{array} \right.$

$(x^2_0-4y_0)^2 = \cos^2\theta-4(-4+\sin\theta)$

$=21-(\sin\theta+2)^2$

$(x^2_0-4y_0)^2 \leqslant 20$

$|AB| \cdot h \leqslant \sqrt{10}$

$S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$

$S_{\triangle PAB} \leqslant \dfrac{\sqrt{10}}{2}$

结论： $\triangle PAB$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ .

【相关考题】

三角形的面积问题在解析几何大题中经常出现，请参阅以下考题：

$\boxed{\mathbb{2013B20}}$

$\boxed{\mathbb{2016A20}}$

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