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高中数列之目~入门级的数列大题：2008年理数海南卷题17

高中数列之目~入门级的数列大题：2008年理数海南卷题17

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-21 10:23 被阅读0次

2008年理数海南卷题17（12分）

已知 \{a_n\} 是一个等差数列，且 a_2=1,a_5=-5.

（1）求 \{a_n\} 的通项 a_n；

（2）求 \{a_n\} 前 n 项和 S_n 的最大值.

【解答第1问】

\because \; a_2=1,a_5=-5,
\therefore 3d=a_5-a_2 = -6, \;\therefore\; d=-2.

\therefore a_1=3, a_n=3+(n-1)(-2)=5-2n

通项公式为：a_n=5-2n.

【解答第2问】

\because\; a_n=5-2n, \;\therefore\; a_3=-1

\forall n \leqslant 2, \;a_n \geqslant 1, a_{n-1} \lt a_n;
\forall n \gt 2, a_n \lt 0, \;\therefore a_{n-1} \gt a_{n}

所以，当 n=2， S_n 取得最大值：S_{max}=a_1+a_2=4.

【提炼与提高】

这是一道2008年的高考题，难度不高，但却体现了一些重要的基本原则：数列是特殊的函数。数列的通项公式、求和公式与递推公式存在密切的联系。

根据通项公式可以判断指定项的正负性，从而判断其和数列的单调性。

有些数列的通项公式较为复杂，但这一原则依然是有效的。参见：2013年理科数学全国卷二题16.

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